वक्र x(x^2 + p) = y - 1 और रेखा y = 1 द्वारा | vedclass

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Question

(C) दिया गया वक्र $y = x^3 + px + 1$ है। वक्र और रेखा $y = 1$ द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम $x^3 + px + 1 = 1$ रखते हैं,जिससे $x^3 + p

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$\frac{p^2}{2}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया वक्र $y = x^3 + px + 1$ है। वक्र और रेखा $y = 1$ द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम $x^3 + px + 1 = 1$ रखते हैं,जिससे $x^3 + px = 0$ प्राप्त होता है। इसका अर्थ है $x(x^2 + p) = 0$। मान लीजिए $p  0$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0, x = a, x = -a$ हैं। क्षेत्रफल $A$ वक्र और रेखा के बीच के अंतर का समाकलन है: $A = \int_{-a}^{0} (x^3 - a^2x + 1 - 1) dx + \int_{0}^{a} (1 - (x^3 - a^2x + 1)) dx$। $A = \int_{-a}^{0} (x^3 - a^2x) dx + \int_{0}^{a} (-x^3 + a^2x) dx$। प्रथम समाकलन का मान: $[\frac{x^4}{4} - \frac{a^2x^2}{2}]_{-a}^{0} = 0 - (\frac{a^4}{4} - \frac{a^4}{2}) = \frac{a^4}{4}$। द्वितीय समाकलन का मान: $[-\frac{x^4}{4} + \frac{a^2x^2}{2}]_{0}^{a} = (-\frac{a^4}{4} + \frac{a^4}{2}) - 0 = \frac{a^4}{4}$। कुल क्षेत्रफल $A = \frac{a^4}{4} + \frac{a^4}{4} = \frac{a^4}{2}$। चूंकि $p = -a^2$,इसलिए $p^2 = a^4$। अतः,क्षेत्रफल $\frac{p^2}{2}$ है।

वक्र $x(x^2 + p) = y - 1$ और रेखा $y = 1$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल क्या है?

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