निर्देशांक अक्षों को मूल बिंदु के परितः धनात्मक दिशा में $\alpha$ कोण से घुमाने पर,यदि बिंदु $(1,2)$ नई निर्देशांक प्रणाली में $\left(\frac{3 \sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}+3}{2 \sqrt{2}}\right)$ में परिवर्तित हो जाता है,तो $\alpha=$

यदि बिंदु $P(1,3)$ क्रमिक रूप से निम्नलिखित परिवर्तनों से गुजरता है:
$(i)$ रेखा $y=x$ के सापेक्ष परावर्तन।
(ii) $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $3$ इकाई का स्थानांतरण।
(iii) मूल बिंदु के परितः घड़ी की दिशा में $\frac{\pi}{6}$ कोण पर घूर्णन।
तो,बिंदु $P$ की अंतिम स्थिति है:

यदि मूलबिंदु को एक बिंदु $P$ पर स्थानांतरित किया जाता है ताकि समीकरण $x^2-y^2+2y-1=0$ से $y$-पद को हटाया जा सके,तो इसका रूपांतरित समीकरण क्या होगा?

मान लीजिए कि नए अक्ष $X, Y$ को निर्देशांक अक्षों $x, y$ को मूल बिंदु के चारों ओर $30^{\circ}$ के कोण पर वामावर्त (anti-clockwise) दिशा में घुमाकर उत्पन्न किया जाता है। तब,नए अक्षों $X, Y$ के सापेक्ष $x^2+2 \sqrt{3} xy - y^2 = 2a^2$ का रूपांतरित समीकरण क्या होगा?

जब मूल बिंदु को $(h, k)$ बिंदु पर स्थानांतरित किया जाता है,तो समीकरण $S = 2x^2 - xy + y^2 + 2x + 3y + 1 = 0$ बदलकर $S' = ax^2 + 2hxy + by^2 + C' = 0$ हो जाता है। यदि इसके बाद निर्देशांक अक्षों को नए मूल बिंदु के चारों ओर $\theta$ कोण पर धनात्मक दिशा में घुमाया जाता है ताकि $xy$ पद समाप्त हो जाए,तो समीकरण $S' = 0$,$Ax^2 + By^2 + C = 0$ बन जाता है। $h + k + \tan 2\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

जब निर्देशांक अक्षों को मूलबिंदु को स्थानांतरित किए बिना वामावर्त दिशा में $\frac{\pi}{4}$ कोण से घुमाया जाता है,यदि समीकरण $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ नई निर्देशांक प्रणाली में $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ में परिवर्तित हो जाता है,तो $\left|\begin{array}{lll}a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c\end{array}\right|=$