ધારો કે $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c\}$ અને $g: \{a, b, c\} \rightarrow \{\text{apple, ball, cat}\}$ એ $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$ અને $g(a)=\text{apple}, g(b)=\text{ball}, g(c)=\text{cat}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $f, g$ અને $g \circ f$ વ્યસ્ત-સંપન્ન છે. $f^{-1}, g^{-1}$ અને $(g \circ f)^{-1}$ શોધો અને સાબિત કરો કે $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$.

વ્યાખ્યા મુજબ,$f$ અને $g$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેયો હોવાથી તે બાયજેક્ટિવ (bijective) છે.
$f^{-1}: \{a, b, c\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ ને $f^{-1}(a)=1, f^{-1}(b)=2, f^{-1}(c)=3$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય.
$g^{-1}: \{\text{apple, ball, cat}\} \rightarrow \{a, b, c\}$ ને $g^{-1}(\text{apple})=a, g^{-1}(\text{ball})=b, g^{-1}(\text{cat})=c$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય.
$f^{-1} \circ f = I_{\{1, 2, 3\}}$ અને $f \circ f^{-1} = I_{\{a, b, c\}}$ હોવાથી,$f$ વ્યસ્ત-સંપન્ન છે.
$g^{-1} \circ g = I_{\{a, b, c\}}$ અને $g \circ g^{-1} = I_{\{\text{apple, ball, cat}\} }$ હોવાથી,$g$ વ્યસ્ત-સંપન્ન છે.
$g \circ f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{\text{apple, ball, cat}\}$ એ $(g \circ f)(1)=\text{apple}, (g \circ f)(2)=\text{ball}, (g \circ f)(3)=\text{cat}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$(g \circ f)^{-1}: \{\text{apple, ball, cat}\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ ને $(g \circ f)^{-1}(\text{apple})=1, (g \circ f)^{-1}(\text{ball})=2, (g \circ f)^{-1}(\text{cat})=3$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય.
હવે,$(f^{-1} \circ g^{-1})(\text{apple}) = f^{-1}(g^{-1}(\text{apple})) = f^{-1}(a) = 1 = (g \circ f)^{-1}(\text{apple})$.
$(f^{-1} \circ g^{-1})(\text{ball}) = f^{-1}(g^{-1}(\text{ball})) = f^{-1}(b) = 2 = (g \circ f)^{-1}(\text{ball})$.
$(f^{-1} \circ g^{-1})(\text{cat}) = f^{-1}(g^{-1}(\text{cat})) = f^{-1}(c) = 3 = (g \circ f)^{-1}(\text{cat})$.
આમ,$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ સાબિત થાય છે.