ઉદગમ બિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા $x-y$ સમતલમાં $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પ્રવાહધારિત લૂપનો વિચાર કરો. $z$-અક્ષ પર લેવામાં આવેલ રેખા સંકલન $\Im(L) = \left| \int_{-L}^{L} \vec{B} \cdot d\vec{l} \right|$ નો વિચાર કરો.
$(a)$ દર્શાવો કે $\Im(L)$ એ $L$ સાથે એકવિધ રીતે વધે છે.
$(b)$ યોગ્ય એમ્પીરીયન લૂપનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવો કે $\Im(\infty) = \mu_0 I$,જ્યાં $I$ એ તારમાં વહેતો પ્રવાહ છે.
$(c)$ આ પરિણામને સીધી રીતે ચકાસો.
$(d)$ ધારો કે આપણે વર્તુળાકાર કોઈલને $R$ બાજુવાળી ચોરસ કોઈલ સાથે બદલીએ છીએ જે સમાન પ્રવાહ $I$ વહન કરે છે. તમે $\Im(L)$ અને $\Im(\infty)$ વિશે શું કહી શકો?

(N/A) $z$-અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $z$-અક્ષની દિશામાં હોય છે. તેથી,$\vec{B} \cdot d\vec{l} = B_z dz$. $z$-અક્ષ પર $B_z$ હંમેશા ધન (અથવા પ્રવાહની દિશા મુજબ ઋણ) હોવાથી,સંકલન $\int_{-L}^{L} B_z dz$ એ $B_z$ વિરુદ્ધ $z$ ના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે. જેમ $L$ વધે છે,તેમ સંકલન વધુ ક્ષેત્રફળ એકત્રિત કરે છે,તેથી $\Im(L)$ એકવિધ રીતે વધે છે.
$(b)$ $z$-અક્ષ પર $-L$ થી $L$ સુધીના રેખાખંડ અને $x-y$ સમતલમાં $r \to \infty$ ત્રિજ્યાના મોટા અર્ધવર્તુળાકાર ચાપથી બનેલા એમ્પીરીયન લૂપનો વિચાર કરો. એમ્પીયરના નિયમ મુજબ,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed}$. જેમ $r \to \infty$ થાય છે,તેમ ચાપમાંથી મળતું યોગદાન શૂન્ય થઈ જાય છે કારણ કે $B \propto 1/r^3$. તેથી,$\int_{-L}^{L} B_z dz + 0 = \mu_0 I$,એટલે કે $\Im(\infty) = \mu_0 I$.
$(c)$ વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_z = \frac{\mu_0 I R^2}{2(z^2 + R^2)^{3/2}}$ છે. $-\infty$ થી $\infty$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mu_0 I R^2}{2(z^2 + R^2)^{3/2}} dz$. ધારો કે $z = R \tan \theta$,તો $dz = R \sec^2 \theta d\theta$. સંકલન $\frac{\mu_0 I}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \theta d\theta = \frac{\mu_0 I}{2} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \mu_0 I$ બને છે.
$(d)$ ચોરસ કોઈલ માટે,સંમિતિ અલગ છે,પરંતુ અક્ષ પરનું રેખા સંકલન હજુ પણ એમ્પીયરના નિયમની સમાન ટોપોલોજીકલ મર્યાદાઓને અનુસરે છે. તેથી,સમાન બંધ પ્રવાહને કારણે $\Im(\infty)$ એ $\mu_0 I$ જ રહે છે,જ્યારે $\Im(L)$ હજુ પણ એકવિધ રીતે વધશે.