मूल बिंदु पर केंद्र वाले $x-y$ तल में $R$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार धारावाही लूप पर विचार करें। $z$-अक्ष के अनुदिश लिए गए रेखा समाकल $\Im(L) = \left| \int_{-L}^{L} \vec{B} \cdot d\vec{l} \right|$ पर विचार करें।
$(a)$ दर्शाइए कि $\Im(L)$ का मान $L$ के साथ एकदिष्ट रूप से बढ़ता है।
$(b)$ एक उपयुक्त एम्पीरियन लूप का उपयोग करके दर्शाइए कि $\Im(\infty) = \mu_0 I$,जहाँ $I$ तार में प्रवाहित धारा है।
$(c)$ इस परिणाम को सीधे सत्यापित करें।
$(d)$ मान लीजिए कि हम वृत्ताकार कुंडली को $R$ भुजा वाली वर्गाकार कुंडली से बदल देते हैं जिसमें समान धारा $I$ प्रवाहित हो रही है। आप $\Im(L)$ और $\Im(\infty)$ के बारे में क्या कह सकते हैं?

(N/A) $z$-अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$,$z$-अक्ष की दिशा में होता है। अतः,$\vec{B} \cdot d\vec{l} = B_z dz$। चूंकि $z$-अक्ष पर $B_z$ हमेशा धनात्मक (या धारा की दिशा के अनुसार ऋणात्मक) होता है,समाकल $\int_{-L}^{L} B_z dz$ $B_z$ बनाम $z$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल को दर्शाता है। जैसे-जैसे $L$ बढ़ता है,समाकल अधिक क्षेत्रफल संचित करता है,इसलिए $\Im(L)$ एकदिष्ट रूप से बढ़ता है।
$(b)$ $z$-अक्ष पर $-L$ से $L$ तक के खंड और $x-y$ तल में $r \to \infty$ त्रिज्या के एक बड़े अर्धवृत्ताकार चाप से बने एम्पीरियन लूप पर विचार करें। एम्पीयर के नियम के अनुसार,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed}$। जैसे $r \to \infty$ होता है,चाप से योगदान शून्य हो जाता है क्योंकि $B \propto 1/r^3$। अतः,$\int_{-L}^{L} B_z dz + 0 = \mu_0 I$,जिससे $\Im(\infty) = \mu_0 I$ प्राप्त होता है।
$(c)$ वृत्ताकार लूप की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B_z = \frac{\mu_0 I R^2}{2(z^2 + R^2)^{3/2}}$ है। $-\infty$ से $\infty$ तक समाकलन करने पर: $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mu_0 I R^2}{2(z^2 + R^2)^{3/2}} dz$। मान लीजिए $z = R \tan \theta$,तो $dz = R \sec^2 \theta d\theta$। समाकल $\frac{\mu_0 I}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \theta d\theta = \frac{\mu_0 I}{2} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \mu_0 I$ हो जाता है।
$(d)$ वर्गाकार कुंडली के लिए,समरूपता अलग है,लेकिन अक्ष के अनुदिश रेखा समाकल अभी भी एम्पीयर के नियम की समान टोपोलॉजिकल बाधाओं का पालन करता है। अतः,समान परिबद्ध धारा के कारण $\Im(\infty)$ का मान $\mu_0 I$ ही रहता है,जबकि $\Im(L)$ अभी भी एकदिष्ट रूप से बढ़ता रहेगा।