चित्र में दिखाए अनुसार पिस्टन के साथ जुड़े इकाई अनुप्रस्थ काट वाले सिलेंडर में एक मोल आदर्श गैस पर विचार करें। एक स्प्रिंग (स्प्रिंग नियतांक $k$) पिस्टन और सिलेंडर के निचले हिस्से से जुड़ी है (बिना खिंची लंबाई $L$)। प्रारंभ में,स्प्रिंग बिना खिंची हुई है और गैस संतुलन में है। गैस को कुछ मात्रा में ऊष्मा $Q$ दी जाती है,जिससे आयतन $V_0$ से बढ़कर $V_1$ हो जाता है।
$(a)$ निकाय का प्रारंभिक दाब क्या है?
$(b)$ निकाय का अंतिम दाब क्या है?
$(c)$ ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम का उपयोग करके,$Q, V_0, V_1, P_a$ और $k$ के बीच एक संबंध लिखिए।

(N/A) प्रारंभ में,निकाय संतुलन में है,इसलिए पिस्टन पर दाब वायुमंडलीय दाब के बराबर होगा।
$\therefore P_{i} = P_{a}$
$(b)$ ऊष्मा देने पर,गैस का आयतन $V_{0}$ से बढ़कर $V_{1}$ हो जाता है।
चूंकि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 1$ इकाई है,पिस्टन का विस्थापन $x = V_{1} - V_{0}$ होगा।
स्प्रिंग द्वारा पिस्टन पर लगाया गया बल $F = kx = k(V_{1} - V_{0})$ है।
गैस पर अंतिम दाब $P_{f}$,वायुमंडलीय दाब और स्प्रिंग बल के कारण दाब का योग है:
$P_{f} = P_{a} + \frac{F}{A} = P_{a} + k(V_{1} - V_{0})$
$(c)$ ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + \Delta W$।
एक मोल आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = C_{V}(T_{f} - T_{0})$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ का उपयोग करते हुए,$T = \frac{PV}{R}$,इसलिए $\Delta U = C_{V} \left( \frac{P_{f}V_{1}}{R} - \frac{P_{a}V_{0}}{R} \right)$।
गैस द्वारा किया गया कार्य $\Delta W = P_{a}(V_{1} - V_{0}) + \frac{1}{2}k(V_{1} - V_{0})^{2}$ है।
अतः,संबंध है: $Q = C_{V} \left( \frac{(P_{a} + k(V_{1} - V_{0}))V_{1} - P_{a}V_{0}}{R} \right) + P_{a}(V_{1} - V_{0}) + \frac{1}{2}k(V_{1} - V_{0})^{2}$।