સ્થિર મુક્ત ન્યુટ્રોનનું ક્ષય ધ્યાનમાં લો: $n \rightarrow p + e^-$. દર્શાવો કે આ પ્રકારના દ્વિ-પદાર્થ ક્ષયમાં ઇલેક્ટ્રોન હંમેશા નિશ્ચિત ઉર્જા ધરાવતો હોવો જોઈએ અને તેથી,તે ન્યુટ્રોન અથવા ન્યુક્લિયસના $\beta$-ક્ષયમાં જોવા મળતા સતત ઉર્જા વિતરણને સમજાવી શકતું નથી.
(N/A) સ્થિર મુક્ત ન્યુટ્રોનના દ્વિ-પદાર્થ ક્ષય $(n \rightarrow p + e^-)$ માટે,ઉર્જા અને વેગમાનનું સંરક્ષણ જળવાવું જોઈએ.
ધારો કે $M_n$,$M_p$,અને $m_e$ એ અનુક્રમે ન્યુટ્રોન,પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $M_n c^2 = E_p + E_e$,જ્યાં $E_p$ અને $E_e$ એ પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\vec{p}_p + \vec{p}_e = 0$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{p}_p| = |\vec{p}_e| = p$.
સાપેક્ષવાદના ઉર્જા-વેગમાન સંબંધ $E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $E_p^2 = p^2 c^2 + M_p^2 c^4$ અને $E_e^2 = p^2 c^2 + m_e^2 c^4$.
પ્રોટોનની ઉર્જાના સમીકરણમાં $p^2 c^2 = E_e^2 - m_e^2 c^4$ મૂકતા: $E_p = \sqrt{E_e^2 - m_e^2 c^4 + M_p^2 c^4}$.
આને ઉર્જા સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા: $M_n c^2 = E_e + \sqrt{E_e^2 - m_e^2 c^4 + M_p^2 c^4}$.
આ સમીકરણને $E_e$ માટે ઉકેલતા જણાય છે કે $E_e$ એ સામેલ કણોના દળ પર આધારિત એક નિશ્ચિત મૂલ્ય છે,જેનો અર્થ છે કે ઇલેક્ટ્રોન પાસે નિશ્ચિત (અલગ) ઉર્જા હોવી જોઈએ.
કારણ કે અવલોકિત $\beta$-ક્ષય વર્ણપટ સતત છે,આ દ્વિ-પદાર્થ મોડેલ અપૂરતું છે. વાસ્તવિક ક્ષય એ ત્રિ-પદાર્થ પ્રક્રિયા છે: $n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e$,જ્યાં એન્ટિન્યુટ્રિનો બાકીની ઉર્જા લઈ જાય છે,જેનાથી ઇલેક્ટ્રોન સતત ઉર્જા શ્રેણી ધરાવી શકે છે.
ધારો કે $M_n$,$M_p$,અને $m_e$ એ અનુક્રમે ન્યુટ્રોન,પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $M_n c^2 = E_p + E_e$,જ્યાં $E_p$ અને $E_e$ એ પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\vec{p}_p + \vec{p}_e = 0$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{p}_p| = |\vec{p}_e| = p$.
સાપેક્ષવાદના ઉર્જા-વેગમાન સંબંધ $E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $E_p^2 = p^2 c^2 + M_p^2 c^4$ અને $E_e^2 = p^2 c^2 + m_e^2 c^4$.
પ્રોટોનની ઉર્જાના સમીકરણમાં $p^2 c^2 = E_e^2 - m_e^2 c^4$ મૂકતા: $E_p = \sqrt{E_e^2 - m_e^2 c^4 + M_p^2 c^4}$.
આને ઉર્જા સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા: $M_n c^2 = E_e + \sqrt{E_e^2 - m_e^2 c^4 + M_p^2 c^4}$.
આ સમીકરણને $E_e$ માટે ઉકેલતા જણાય છે કે $E_e$ એ સામેલ કણોના દળ પર આધારિત એક નિશ્ચિત મૂલ્ય છે,જેનો અર્થ છે કે ઇલેક્ટ્રોન પાસે નિશ્ચિત (અલગ) ઉર્જા હોવી જોઈએ.
કારણ કે અવલોકિત $\beta$-ક્ષય વર્ણપટ સતત છે,આ દ્વિ-પદાર્થ મોડેલ અપૂરતું છે. વાસ્તવિક ક્ષય એ ત્રિ-પદાર્થ પ્રક્રિયા છે: $n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e$,જ્યાં એન્ટિન્યુટ્રિનો બાકીની ઉર્જા લઈ જાય છે,જેનાથી ઇલેક્ટ્રોન સતત ઉર્જા શ્રેણી ધરાવી શકે છે.
Explore More
Similar Questions
રેડિયોએક્ટિવિટીની શોધ કોણે કરી હતી?
Easy
View Solutionએક રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ $P$ પહેલા $Q$ માં ક્ષય પામે છે અને ત્યારબાદ $Q$ એ બિન-રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ $R$ માં ક્ષય પામે છે. નીચેનામાંથી કઈ આકૃતિ $P$,$Q$ અને $R$ ના સમય-આધારિત દળનું નિરૂપણ કરે છે?
DifficultJEE MAIN 2025
View Solutionનીચેનામાંથી કોની ભેદન શક્તિ (penetrating power) સૌથી વધુ હશે?
Easy
View Solution$\beta$-ક્ષય પ્રક્રિયા,જે $1900$ ની આસપાસ શોધાઈ હતી,તે મૂળભૂત રીતે ન્યુટ્રોન $(n)$ નો ક્ષય છે. પ્રયોગશાળામાં,ન્યુટ્રોનના ક્ષય ઉત્પાદનો તરીકે પ્રોટોન $(p)$ અને ઇલેક્ટ્રોન $(e^-)$ જોવા મળે છે. તેથી,ન્યુટ્રોનના ક્ષયને દ્વિ-પદાર્થ ક્ષય પ્રક્રિયા તરીકે ગણતા,સૈદ્ધાંતિક રીતે એવી આગાહી કરવામાં આવી હતી કે ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અચળ હોવી જોઈએ. પરંતુ પ્રાયોગિક રીતે,એવું જોવા મળ્યું હતું કે ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા સતત વર્ણપટ ધરાવે છે. ત્રિ-પદાર્થ ક્ષય પ્રક્રિયા,એટલે કે $n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e$ ને ધ્યાનમાં લઈને,$1930$ ની આસપાસ,પાઉલીએ અવલોકન કરેલ ઇલેક્ટ્રોન ઊર્જા વર્ણપટ સમજાવ્યો. એન્ટી-ન્યુટ્રીનો $(\bar{\nu}_e)$ દળરહિત છે અને નગણ્ય ઊર્જા ધરાવે છે તેમ ધારીને,અને ન્યુટ્રોન સ્થિર છે તેમ માનીને,વેગમાન અને ઊર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતો લાગુ કરવામાં આવે છે. આ ગણતરી પરથી,ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $0.8 \times 10^6 \ eV$ છે. પ્રોટોન દ્વારા વહન કરવામાં આવતી ગતિઊર્જા માત્ર રિકોઇલ ઊર્જા છે.
$1.$ એન્ટી-ન્યુટ્રીનોની મહત્તમ ઊર્જા કેટલી છે?
$(A)$ શૂન્ય
$(B)$ $0.8 \times 10^6 \ eV$ કરતા ઘણી ઓછી
$(C)$ લગભગ $0.8 \times 10^6 \ eV$
$(D)$ $0.8 \times 10^6 \ eV$ કરતા ઘણી વધારે
$2.$ જો એન્ટી-ન્યુટ્રીનોનું દળ શૂન્યને બદલે $3 \ eV/c^2$ (જ્યાં $c$ પ્રકાશની ગતિ છે) હોત,તો ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K$ ની રેન્જ શું હોવી જોઈએ?
$(A)$ $0 \leq K \leq 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(B)$ $3.0 \ eV \leq K \leq 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(C)$ $3.0 \ eV \leq K < 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(D)$ $0 \leq K < 0.8 \times 10^6 \ eV$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.
$1.$ એન્ટી-ન્યુટ્રીનોની મહત્તમ ઊર્જા કેટલી છે?
$(A)$ શૂન્ય
$(B)$ $0.8 \times 10^6 \ eV$ કરતા ઘણી ઓછી
$(C)$ લગભગ $0.8 \times 10^6 \ eV$
$(D)$ $0.8 \times 10^6 \ eV$ કરતા ઘણી વધારે
$2.$ જો એન્ટી-ન્યુટ્રીનોનું દળ શૂન્યને બદલે $3 \ eV/c^2$ (જ્યાં $c$ પ્રકાશની ગતિ છે) હોત,તો ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K$ ની રેન્જ શું હોવી જોઈએ?
$(A)$ $0 \leq K \leq 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(B)$ $3.0 \ eV \leq K \leq 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(C)$ $3.0 \ eV \leq K < 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(D)$ $0 \leq K < 0.8 \times 10^6 \ eV$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.
નીચેનામાંથી તે કિરણ પસંદ કરો જે પ્રકાશના વેગ સાથે ગતિ કરતું નથી.
Easy
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo