$x > 0$ के लिए फलनों $f_{1}(x) = x$ और $f_{2}(x) = 2 + \ln x$ पर विचार करें। इन फलनों के आलेख कहाँ प्रतिच्छेद करते हैं?

माना $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $f(x) = \sin^{10} x (\cos^8 x + \cos^4 x + \cos^2 x + 1)$,जहाँ $x \in R$ है। माना $S = \{\lambda \in R : \text{एक बिंदु } c \in (0, 2\pi) \text{ का अस्तित्व है जिसके लिए } f'(c) = \lambda f(c)\}$ है। तब,

मान लीजिए $f_1: R \rightarrow R, f_2:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow R, f_3:\left(-1, e^{\frac{\pi}{2}}-2\right) \rightarrow R$ और $f_4: R \rightarrow R$ निम्नलिखित रूप से परिभाषित फलन हैं:
$(i)$ $f_1(x)=\sin \left(\sqrt{1-e^{-x^2}}\right)$
$(ii)$ $f_2(x)=\begin{cases} \frac{|\sin x|}{\tan^{-1} x} & \text{यदि } x \neq 0 \\ 1 & \text{यदि } x=0 \end{cases}$,जहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\tan^{-1} x$ का मान $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में है।
$(iii)$ $f_3(x)=\left[\sin \left(\log_e(x+2)\right)\right]$,जहाँ,$t \in R$ के लिए,$[t]$ सबसे बड़ा पूर्णांक है जो $t$ से कम या उसके बराबर है।
$(iv)$ $f_4(x)=\begin{cases} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0 & \text{यदि } x=0 \end{cases}$

$LIST-I$	$LIST-II$
$P$. फलन $f_1$ है	$1$. $x=0$ पर सतत $NOT$ है
$Q$. फलन $f_2$ है	$2$. $x=0$ पर सतत है और $x=0$ पर अवकलनीय $NOT$ है
$R$. फलन $f_3$ है	$3$. $x=0$ पर अवकलनीय है और इसका अवकलज $x=0$ पर सतत $NOT$ है
$S$. फलन $f_4$ है	$4$. $x=0$ पर अवकलनीय है और इसका अवकलज $x=0$ पर सतत है

सही विकल्प है:

माना $f(x) = x|x|$,$g(x) = \sin x$ और $h(x) = (g \circ f)(x)$ है। तब

मान लीजिए $f:\left[-\frac{1}{2}, 2\right] \rightarrow R$ और $g:\left[-\frac{1}{2}, 2\right] \rightarrow R$ फलन हैं जो $f(x)=\left[x^2-3\right]$ और $g(x)=|x| f(x)+|4 x-7| f(x)$ द्वारा परिभाषित हैं,जहाँ $[y]$,$y \in R$ के लिए $y$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है। तो
$(A)$ $f$,$\left[-\frac{1}{2}, 2\right]$ में ठीक तीन बिंदुओं पर असतत है
$(B)$ $f$,$\left[-\frac{1}{2}, 2\right]$ में ठीक चार बिंदुओं पर असतत है
$(C)$ $g$,$\left(-\frac{1}{2}, 2\right)$ में ठीक चार बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है
$(D)$ $g$,$\left(-\frac{1}{2}, 2\right)$ में ठीक पांच बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है

फलन $f:(-\infty, \infty) \rightarrow(-\infty, \infty)$ पर विचार करें,जो $f(x)=\frac{x^2-a x+1}{x^2+a x+1}, 0 < a < 2$ द्वारा परिभाषित है।
$1.$ निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $(2+a)^2 f^{\prime \prime}(1)+(2-a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(B)$ $(2-a)^2 f^{\prime}(1)-(2+a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(C)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=(2-a)^2$
$(D)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=-(2+a)^2$
$2.$ निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर घट रहा है और $x=1$ पर स्थानीय न्यूनतम है
$(B)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर बढ़ रहा है और $x=1$ पर स्थानीय अधिकतम है
$(C)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर बढ़ रहा है लेकिन $x=1$ पर न तो स्थानीय अधिकतम और न ही स्थानीय न्यूनतम है
$(D)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर घट रहा है लेकिन $x=1$ पर न तो स्थानीय अधिकतम और न ही स्थानीय न्यूनतम है
$3.$ मान लीजिए $g(x)=\int_0^{e^x} \frac{f^{\prime}(t)}{1+t^2} d t$ है। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ पर धनात्मक और $(0, \infty)$ पर ऋणात्मक है
$(B)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ पर ऋणात्मक और $(0, \infty)$ पर धनात्मक है
$(C)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ और $(0, \infty)$ दोनों पर अपना चिह्न बदलता है
$(D)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ पर अपना चिह्न नहीं बदलता है
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।