बहुपद $f(x)=1+2x+3x^2+4x^3$ पर विचार करें। मान लीजिए $s$,$f(x)$ के सभी भिन्न वास्तविक मूलों का योग है और $t=|s|$ है।
$1.$ वास्तविक संख्या $s$ किस अंतराल में स्थित है?
$(A)$ $\left(-\frac{1}{4}, 0\right)$ $(B)$ $\left(-1,-\frac{3}{4}\right)$
$(C)$ $\left(-\frac{3}{4},-\frac{1}{2}\right)$ $(D)$ $\left(0, \frac{1}{4}\right)$
$2.$ वक्र $y=f(x)$ और रेखाओं $x=0, y=0$ तथा $x=t$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल किस अंतराल में स्थित है?
$(A)$ $\left(\frac{3}{4}, 3\right)$ $(B)$ $\left(\frac{21}{64}, \frac{11}{16}\right)$
$(C)$ $(9,10)$ $(D)$ $\left(0, \frac{21}{64}\right)$
$3.$ फलन $f^{\prime}(x)$ है:
$(A)$ $\left(-t,-\frac{1}{4}\right)$ में वर्धमान और $\left(-\frac{1}{4}, t\right)$ में ह्रासमान
$(B)$ $\left(-t,-\frac{1}{4}\right)$ में ह्रासमान और $\left(-\frac{1}{4}, t\right)$ में वर्धमान
$(C)$ $(-t, t)$ में वर्धमान $(D)$ $(-t, t)$ में ह्रासमान
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ वास्तविक संख्या $s$ किस अंतराल में स्थित है?
$(A)$ $\left(-\frac{1}{4}, 0\right)$ $(B)$ $\left(-1,-\frac{3}{4}\right)$
$(C)$ $\left(-\frac{3}{4},-\frac{1}{2}\right)$ $(D)$ $\left(0, \frac{1}{4}\right)$
$2.$ वक्र $y=f(x)$ और रेखाओं $x=0, y=0$ तथा $x=t$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल किस अंतराल में स्थित है?
$(A)$ $\left(\frac{3}{4}, 3\right)$ $(B)$ $\left(\frac{21}{64}, \frac{11}{16}\right)$
$(C)$ $(9,10)$ $(D)$ $\left(0, \frac{21}{64}\right)$
$3.$ फलन $f^{\prime}(x)$ है:
$(A)$ $\left(-t,-\frac{1}{4}\right)$ में वर्धमान और $\left(-\frac{1}{4}, t\right)$ में ह्रासमान
$(B)$ $\left(-t,-\frac{1}{4}\right)$ में ह्रासमान और $\left(-\frac{1}{4}, t\right)$ में वर्धमान
$(C)$ $(-t, t)$ में वर्धमान $(D)$ $(-t, t)$ में ह्रासमान
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
- A$(C, A, B)$
- B$(A, B, C)$
- C$(A, B, D)$
- D$(B, C, A)$
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List-$I$ List-$II$ $(P)$ $n$ का न्यूनतम मान जिसके लिए फलन $f(x)=\left[\frac{10 x^3-45 x^2+60 x+35}{n}\right]$ अंतराल $[1,2]$ पर सतत है $(1)$ $8$ $(Q)$ $n$ का न्यूनतम मान जिसके लिए $g(x)=\left(2 n^2-13 n-15\right)\left(x^3+3 x\right), x \in R$,$R$ पर एक वर्धमान फलन है $(2)$ $9$ $(R)$ $5$ से बड़ी वह सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $n$ जिसके लिए $x=3$,$h(x)=\left(x^2-9\right)^{n}\left(x^2+2 x+3\right)$ का स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है $(3)$ $5$ $(S)$ $x_0 \in R$ की संख्या जिसके लिए $l(x)=\sum_{k=0}^4\left(\sin |x-k|+\cos \left|x-k+\frac{1}{2}\right|\right), x \in R$ बिंदु $x_0$ पर अवकलनीय नहीं है $(4)$ $6$ $(5)$ $10$
| List-$I$ | List-$II$ |
| $(P)$ $n$ का न्यूनतम मान जिसके लिए फलन $f(x)=\left[\frac{10 x^3-45 x^2+60 x+35}{n}\right]$ अंतराल $[1,2]$ पर सतत है | $(1)$ $8$ |
| $(Q)$ $n$ का न्यूनतम मान जिसके लिए $g(x)=\left(2 n^2-13 n-15\right)\left(x^3+3 x\right), x \in R$,$R$ पर एक वर्धमान फलन है | $(2)$ $9$ |
| $(R)$ $5$ से बड़ी वह सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $n$ जिसके लिए $x=3$,$h(x)=\left(x^2-9\right)^{n}\left(x^2+2 x+3\right)$ का स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है | $(3)$ $5$ |
| $(S)$ $x_0 \in R$ की संख्या जिसके लिए $l(x)=\sum_{k=0}^4\left(\sin |x-k|+\cos \left|x-k+\frac{1}{2}\right|\right), x \in R$ बिंदु $x_0$ पर अवकलनीय नहीं है | $(4)$ $6$ |
| $(5)$ $10$ |
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$(A)$ $f$ का $x=2$ पर स्थानीय उच्चतम मान है
$(B)$ $f$ अंतराल $(2,3)$ में ह्रासमान है
$(C)$ कोई ऐसा $c \in(0, \infty)$ विद्यमान है जिसके लिए $f^{\prime \prime}(c)=0$
$(D)$ $f$ का $x=3$ पर स्थानीय निम्नतम मान है
$(A)$ $f$ का $x=2$ पर स्थानीय उच्चतम मान है
$(B)$ $f$ अंतराल $(2,3)$ में ह्रासमान है
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List $I$ List $II$ $A. 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 1$ $(I)$ $x = 4$ पर न्यूनतम मान रखता है $B. x + \frac{1}{x}, \forall x < 0$ $(II)$ $x = -1$ पर अधिकतम मान रखता है $C. x^4(7 - x)^3$ $(III)$ $x = 4$ पर अधिकतम मान रखता है $D. x^4 + (8 - x)^4$ $(IV)$ $[2, \infty)$ में ह्रासमान है $(V)$ $[2, \infty)$ में वर्धमान है
| List $I$ | List $II$ |
| $A. 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 1$ | $(I)$ $x = 4$ पर न्यूनतम मान रखता है |
| $B. x + \frac{1}{x}, \forall x < 0$ | $(II)$ $x = -1$ पर अधिकतम मान रखता है |
| $C. x^4(7 - x)^3$ | $(III)$ $x = 4$ पर अधिकतम मान रखता है |
| $D. x^4 + (8 - x)^4$ | $(IV)$ $[2, \infty)$ में ह्रासमान है |
| $(V)$ $[2, \infty)$ में वर्धमान है |
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