समुच्चय $A = \{1, 2, 3, \ldots, 30\}$ पर विचार करें। $A$ से तीन भिन्न संख्याओं को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि चुनी गई संख्याओं का गुणनफल $9$ से विभाज्य हो।

$\sum\limits_{r = 0}^{15} {\left( {{}^{15}{C_r} \cdot {}^{40}{C_{15}} \cdot {}^{20}{C_r} - {}^{35}{C_{15}} \cdot {}^{15}{C_r} \cdot {}^{25}{C_r}} \right)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$5$ लड़कों और $6$ लड़कियों को सभी संभावित तरीकों से व्यवस्थित किया गया है। मान लीजिए $X$ उन रैखिक व्यवस्थाओं की संख्या को दर्शाता है जिनमें कोई भी दो लड़के एक साथ नहीं बैठते हैं और $Y$ उन रैखिक व्यवस्थाओं की संख्या को दर्शाता है जिनमें कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ नहीं बैठती हैं। यदि $Z$ उन सभी को एक गोल मेज के चारों ओर इस तरह से व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है कि कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें,तो $X: Y: Z=$

$0, 1, 2, 3, 4$ और $5$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $3$ से विभाज्य पाँच अंकों की एक संख्या बनानी है। ऐसा करने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

तीन व्यक्ति $A, B, C$ जिनके पास क्रमशः $6, 7$ और $8$ एक रुपये के सिक्के हैं,वे सामूहिक रूप से $₹ 10$ का दान कितनी अलग-अलग तरह से कर सकते हैं?

$^n{P_r} \div ^n{C_r} = $