R त्रिज्या वाले एक बेलनाकार तार में धारा घनत् | vedclass

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Question

(A) धारा घनत्व $J$ को $J(r) = \beta(r + r_0)^2$ के रूप में दिया गया है। त्रिज्यीय दूरी $r$ पर $dr$ मोटाई और $d	heta$ कोणीय चौड़ाई वाले एक छोटे क्षेत्

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$\pi \beta \left[ \frac{R^4}{12} + \frac{r_0^2 R^2}{6} + \frac{2 r_0 R^3}{9} \right]$

Vedclass · Answer

(A) धारा घनत्व $J$ को $J(r) = \beta(r + r_0)^2$ के रूप में दिया गया है। त्रिज्यीय दूरी $r$ पर $dr$ मोटाई और $d	heta$ कोणीय चौड़ाई वाले एक छोटे क्षेत्रफल $dA$ पर विचार करें। क्षेत्रफल अवयव $dA = r dr d	heta$ है। इस अवयव से गुजरने वाली धारा $di = J(r) dA = \beta(r + r_0)^2 r dr d	heta$ है। छायांकित क्षेत्र दो सेक्टरों से बना है,जिनमें से प्रत्येक की कोणीय चौड़ाई $\pi/6$ है। कुल कोणीय चौड़ाई $\Delta 	heta = \pi/6 + \pi/6 = \pi/3$ है। छायांकित क्षेत्र से गुजरने वाली कुल धारा $I$ प्राप्त करने के लिए $di$ का $r=0$ से $R$ तक और $	heta$ का कुल कोणीय चौड़ाई $\Delta 	heta$ पर समाकलन करने पर: $I = \int_0^{\pi/3} d	heta \int_0^R \beta(r^2 + 2rr_0 + r_0^2) r dr$ $I = \frac{\pi}{3} \beta \int_0^R (r^3 + 2r_0r^2 + r_0^2r) dr$ $I = \frac{\pi \beta}{3} \left[ \frac{r^4}{4} + \frac{2r_0r^3}{3} + \frac{r_0^2r^2}{2} ight]_0^R$ $I = \frac{\pi \beta}{3} \left[ \frac{R^4}{4} + \frac{2r_0R^3}{3} + \frac{r_0^2R^2}{2} ight]$ $I = \pi \beta \left[ \frac{R^4}{12} + \frac{2r_0R^3}{9} + \frac{r_0^2R^2}{6} ight]$

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