वास्तविक संख्याओं के एक अनुक्रम {s_n} को s_n | vedclass

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Question

(C) दिया गया अनुक्रम $s_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$ है।प्रत्येक $k$ के लिए जहाँ $0 \leq k \leq n$,हमारे पास $n^2 \leq n^2+k \leq n^2+n$ ह

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अस्तित्व में है और अंतराल $[1, 2)$ में स्थित है

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(C) दिया गया अनुक्रम $s_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$ है।प्रत्येक $k$ के लिए जहाँ $0 \leq k \leq n$,हमारे पास $n^2 \leq n^2+k \leq n^2+n$ है।वर्गमूल और व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2}}$ प्राप्त होता है।$k=0$ से $n$ तक योग करने पर ($n+1$ पद),हमें मिलता है:$(n+1) \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \leq s_n \leq (n+1) \frac{1}{\sqrt{n^2}}$.जैसे $n \rightarrow \infty$,बायां पक्ष $\frac{n+1}{\sqrt{n^2+n}} = \sqrt{1+1/n} \rightarrow 1$ होता है।दायां पक्ष $\frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} \rightarrow 1$ होता है।स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) द्वारा,$\lim_{n \rightarrow \infty} s_n = 1$ है।चूंकि $1$ अंतराल $[1, 2)$ में स्थित है,सही विकल्प $C$ है।

वास्तविक संख्याओं के एक अनुक्रम $\{s_n\}$ को $s_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$,$n \geq 1$ के लिए परिभाषित करें। तो,$\lim_{n \rightarrow \infty} s_n$:

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$\lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\left( {\frac{{x - \sin x}}{x}} \right)\,\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)$

यदि $f(x) = \begin{cases} x\sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

यदि $f(x) = \begin{cases} x, & \text{if } x \in \mathbb{Q} \\ -x, & \text{if } x \in \mathbb{Q}^c \end{cases}$,तो $\lim_{x \to 0} f(x)$ है

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