एक दुर्बल क्षार $B$ और उसके संयुग्मी अम्ल $BH^{+}$ के लिए $K_w = K_a \times K_b$ और $pK_w = pK_a + pK_b$ व्युत्पन्न कीजिए।

(N/A) दुर्बल क्षार $B$ के लिए,जलीय विलयन में साम्यावस्था इस प्रकार है:
$B_{(aq)} + H_2O_{(l)} \rightleftharpoons BH^{+}_{(aq)} + OH^{-}_{(aq)} \quad \dots (i)$
क्षार वियोजन स्थिरांक $K_b$ इस प्रकार है:
$K_b = \frac{[BH^{+}][OH^{-}]}{[B]}$
संयुग्मी अम्ल $BH^{+}$ के लिए,वियोजन साम्यावस्था इस प्रकार है:
$BH^{+}_{(aq)} + H_2O_{(l)} \rightleftharpoons B_{(aq)} + H_3O^{+}_{(aq)} \quad \dots (ii)$
अम्ल वियोजन स्थिरांक $K_a$ इस प्रकार है:
$K_a = \frac{[B][H_3O^{+}]}{[BH^{+}]}$
$K_a$ और $K_b$ का गुणा करने पर:
$K_a \times K_b = \left( \frac{[B][H_3O^{+}]}{[BH^{+}]} \right) \times \left( \frac{[BH^{+}][OH^{-}]}{[B]} \right)$
$K_a \times K_b = [H_3O^{+}][OH^{-}] = K_w$
दोनों पक्षों का ऋणात्मक लघुगणक (log) लेने पर:
$-\log(K_a \times K_b) = -\log(K_w)$
$-\log K_a - \log K_b = -\log K_w$
$pK_a + pK_b = pK_w$