शंकु के छिन्नक (frustum) के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।

(N/A) माना $ABC$ एक शंकु है। शंकु को उसके आधार के समानांतर एक तल द्वारा काटने पर शंकु का छिन्नक $DECB$ प्राप्त होता है। माना छिन्नक के वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ $r_{1}$ और $r_{2}$ हैं,छिन्नक की ऊँचाई $h$ है और इसकी तिर्यक ऊँचाई $l$ है।
$\triangle ABG$ और $\triangle ADF$ में,चूँकि $DF \parallel BG$,समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार:
$\triangle ABG \sim \triangle ADF$
अतः,$\frac{DF}{BG} = \frac{AF}{AG} = \frac{AD}{AB}$
माना पूरे शंकु $ABC$ की ऊँचाई $h_{1}$ और तिर्यक ऊँचाई $l_{1}$ है।
$\frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{h_{1}-h}{h_{1}} = \frac{l_{1}-l}{l_{1}}$
$\frac{r_{2}}{r_{1}} = 1 - \frac{l}{l_{1}}$ से,हमें $\frac{l}{l_{1}} = 1 - \frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{r_{1}-r_{2}}{r_{1}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$l_{1} = \frac{r_{1}l}{r_{1}-r_{2}}$ और $(l_{1}-l) = \frac{r_{2}l}{r_{1}-r_{2}}$
छिन्नक $DECB$ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ = शंकु $ABC$ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल - शंकु $ADE$ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
$CSA = \pi r_{1}l_{1} - \pi r_{2}(l_{1}-l)$
$CSA = \pi r_{1} \left( \frac{r_{1}l}{r_{1}-r_{2}} \right) - \pi r_{2} \left( \frac{r_{2}l}{r_{1}-r_{2}} \right)$
$CSA = \frac{\pi l (r_{1}^{2} - r_{2}^{2})}{r_{1}-r_{2}} = \pi l (r_{1} + r_{2})$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ = $CSA$ + ऊपरी वृत्ताकार सिरे का क्षेत्रफल + निचले वृत्ताकार सिरे का क्षेत्रफल
$TSA = \pi (r_{1} + r_{2})l + \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2}$