{sin ^{ - 1}}x के सापेक्ष {tan ^{ - 1}}left( | vedclass

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Question

(A) माना $y = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }}} ight)$ और $z = {\sin ^{ - 1}}x$ है। $x = \sin 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,ज

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$\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $y = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }}} ight)$ और $z = {\sin ^{ - 1}}x$ है। $x = \sin 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $	heta = {\sin ^{ - 1}}x$ है। तब $y = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sin 	heta }}{{1 + \cos 	heta }}} ight)$ होगा। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 	heta = 2\sin \frac{	heta}{2} \cos \frac{	heta}{2}$ और $1 + \cos 	heta = 2\cos^2 \frac{	heta}{2}$ का उपयोग करने पर: $y = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\sin \frac{	heta}{2} \cos \frac{	heta}{2}}}{{2\cos^2 \frac{	heta}{2}}}} ight) = {	an ^{ - 1}}\left( {	an \frac{	heta}{2}} ight) = \frac{	heta}{2}$. चूँकि $	heta = {\sin ^{ - 1}}x$ है,इसलिए $y = \frac{1}{2}{\sin ^{ - 1}}x$ प्राप्त होता है। अब,$z$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर: $\frac{{dy}}{{dz}} = \frac{d}{{dz}}\left( {\frac{1}{2}z} ight) = \frac{1}{2}$. अतः,अवकल गुणांक $\frac{1}{2}$ है।

${\sin ^{ - 1}}x$ के सापेक्ष ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)$ का अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए।

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