$sine$ फलन की सांतत्यता की चर्चा कीजिए।

(N/A) $f(x) = \sin x$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हमें यह सत्यापित करना होगा कि किसी भी वास्तविक संख्या $c$ के लिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = f(c)$ है या नहीं।
सबसे पहले,हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin x = 0$ है।
माना $c$ कोई भी वास्तविक संख्या है। हम $x = c + h$ प्रतिस्थापित करते हैं। जैसे ही $x \to c$ होता है,वैसे ही $h \to 0$ होता है।
अब,हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \sin x$
$= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \sin(c + h)$
$= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} [\sin c \cos h + \cos c \sin h]$
$= \sin c \cdot (\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \cos h) + \cos c \cdot (\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \sin h)$
$= \sin c \cdot (1) + \cos c \cdot (0)$
$= \sin c + 0 = \sin c$
चूँकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = \sin c = f(c)$ है,इसलिए फलन $f(x) = \sin x$ सभी वास्तविक संख्याओं $c$ के लिए संतत है।