वक्र $y \cot x = y^3 \tan x$ के लिए उस बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ भुज (abscissa) $\frac{\pi}{4}$ है:

मान लीजिए $f: R \rightarrow (0, \infty)$ और $g: R \rightarrow R$ दो बार अवकलनीय फलन हैं,इस प्रकार कि $f^{\prime \prime}$ और $g^{\prime \prime}$ $R$ पर सतत फलन हैं। मान लीजिए $f^{\prime}(2) = g(2) = 0$,$f^{\prime \prime}(2) \neq 0$ और $g^{\prime}(2) \neq 0$ है। यदि $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) g(x)}{f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)} = 1$ है,तो:

$\frac{1}{e^{3x}}(e^x + e^{5x}) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$
$\Rightarrow 2a_1 + 2^3a_3 + 2^5a_5 + \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।

List-$I$ में दिए गए प्रत्येक फलन को List-$II$ में दिए गए उसके अवकलज (derivative) से सुमेलित कीजिए।

List-$I$	List-$II$
$(A) \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$	$(I) \cos x-\sin x$
$(B) \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$	$(II) \frac{-1}{1+x^2}$
$(C) e^{\log (\sin x+\cos x)}$	$(III) \frac{2}{1+x^2}$
$(D) \sqrt{1-\sin 2 x} \text{ के लिए } (0 < x < \frac{\pi}{4})$	$(IV) \cos x+\sin x$
	$(V) -\sin x-\cos x$

सही मिलान है:

मान लीजिए $f$ अंतराल $(0, \infty)$ पर परिभाषित एक वास्तविक मान वाला फलन है,जहाँ $f(x)=\ln x+\int_0^x \sqrt{1+\sin t} \, dt$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए अस्तित्व में है
$(B)$ $f^{\prime}(x)$ सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए अस्तित्व में है और $f^{\prime}$ अंतराल $(0, \infty)$ पर सतत है,लेकिन $(0, \infty)$ पर अवकलनीय नहीं है
$(C)$ ऐसा $\alpha>1$ मौजूद है कि सभी $x \in(\alpha, \infty)$ के लिए $|f^{\prime}(x)|<|f(x)|$ है
$(D)$ ऐसा $\beta>0$ मौजूद है कि सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए $|f(x)|+|f^{\prime}(x)| \leq \beta$ है

यदि $y = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right) + \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{7x}{1 - 12x^2}\right)$ है,तो $x = 0$ पर $\frac{dy}{dx} = $