$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

(C) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin x \, dx$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x \, dx$
$I$ के दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\log \sin x + \log \cos x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin x \cos x) \, dx$
लघुगणक के अंदर $2$ से गुणा और भाग करने पर:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log\left(\frac{\sin 2x}{2}\right) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin 2x \, dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log 2 \, dx$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin 2x \, dx - \frac{\pi}{2} \log 2$
प्रथम समाकलन के लिए,$2x = t$ रखने पर,$2 \, dx = dt$. जब $x=0, t=0$; जब $x=\frac{\pi}{2}, t=\pi$:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \log \sin t \, dt = \frac{1}{2} \times 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin t \, dt = I$ (क्योंकि $\int_{0}^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो)
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$2I = I - \frac{\pi}{2} \log 2$
$I = -\frac{\pi}{2} \log 2$