यदि a 0 है, तो int_{-pi}^{pi} frac{sin^2 x} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+a^x} dx$  $(i)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए, $x$ को $

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$\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+a^x} dx$  $(i)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए, $x$ को $-\pi + \pi - x = -x$ से प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2(-x)}{1+a^{-x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+\frac{1}{a^x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a^x \sin^2 x}{a^x+1} dx$  $(ii)$$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x + a^x \sin^2 x}{1+a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{(1+a^x) \sin^2 x}{1+a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x dx$चूंकि $\sin^2 x$ एक सम फलन है:$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2x) dx$$2I = [x - \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi} = (\pi - 0) - (0 - 0) = \pi$$I = \frac{\pi}{2}$

यदि $a > 0$ है, तो $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+a^x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x}{1+3^{x}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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समाकलन $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\sin^2 x}{1+e^x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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