मान लीजिए कि f(x) और g(x) दो फलन हैं जो f(x^{ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $f(x^{2}) + g(4-x) = 4x^{3}$ और $g(4-x) = -g(x)$.पहले समीकरण में $g(4-x) = -g(x)$ रखने पर,हमें $f(x^{2}) - g(x) = 4x^{3}$ प्राप्त ह

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(D) दिया गया है कि $f(x^{2}) + g(4-x) = 4x^{3}$ और $g(4-x) = -g(x)$.पहले समीकरण में $g(4-x) = -g(x)$ रखने पर,हमें $f(x^{2}) - g(x) = 4x^{3}$ प्राप्त होता है,इसलिए $f(x^{2}) = 4x^{3} + g(x)$.हमें $I = \int_{-4}^{4} f(x) dx$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि $f(x^{2}) = 4x^{3} + g(x)$,इसलिए $\int_{-4}^{4} f(x^{2}) dx = \int_{-4}^{4} (4x^{3} + g(x)) dx$.$= \int_{-4}^{4} 4x^{3} dx + \int_{-4}^{4} g(x) dx$.चूंकि $4x^{3}$ एक विषम फलन है,इसलिए $\int_{-4}^{4} 4x^{3} dx = 0$.$g(4-x) = -g(x)$ दिया गया है,जिससे $g(x)$ का समाकलन शून्य हो जाता है।अतः,समाकलन का मान $0$ है।

मान लीजिए कि $f(x)$ और $g(x)$ दो फलन हैं जो $f(x^{2}) + g(4-x) = 4x^{3}$ और $g(4-x) + g(x) = 0$ को संतुष्ट करते हैं। तो $\int_{-4}^{4} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f(x) = \frac{\sin x}{x}$,तो $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) dx =$

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