int_{-pi / 2}^{pi / 2} frac{cos ^{2} x}{1+3^{ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x}{1+3^{x}} dx$  --- $(1)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग क

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$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x}{1+3^{x}} dx$  --- $(1)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2}(-x)}{1+3^{-x}} dx = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x}{1+\frac{1}{3^{x}}} dx = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{3^{x} \cos ^{2} x}{3^{x}+1} dx$ --- $(2)$$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x + 3^{x} \cos ^{2} x}{1+3^{x}} dx$$2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x(1+3^{x})}{1+3^{x}} dx = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos ^{2} x dx$चूँकि $\cos^{2} x$ एक सम फलन है:$2I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} x dx$$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1+\cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} [x + \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi / 2}$$I = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} + 0) - (0 + 0)] = \frac{\pi}{4}$

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x}{1+3^{x}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\cot x}}{\sqrt{\cot x} + \sqrt{\tan x}} \, dx = $

$U_n = \int\limits_0^1 x^n (2 - x)^n \, dx$ और $V_n = \int\limits_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx$,जहाँ $n \in N$ है,के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

यदि $\int \limits_0^\pi \frac{5^{\cos x}(1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x) dx}{1+5^{\cos x}} = \frac{k \pi}{16}$ है,तो $k$ का मान $...........$ है।

किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए, समाकलन $\int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3(2n+1)x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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