U_n = intlimits_0^1 x^n (2 - x)^n , dx और V_n | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $U_n = \int\limits_0^1 x^n (2 - x)^n \, dx$ और $V_n = \int\limits_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx$. $U_n$ के समाकलन के लिए,$x = 2t$ प्रतिस्थाप

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$U_n = 2^{2n} V_n$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $U_n = \int\limits_0^1 x^n (2 - x)^n \, dx$ और $V_n = \int\limits_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx$. $U_n$ के समाकलन के लिए,$x = 2t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \, dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 0, t = 0$ और जब $x = 1, t = 1/2$ होता है। $U_n = \int\limits_0^{1/2} (2t)^n (2 - 2t)^n (2 \, dt) = \int\limits_0^{1/2} 2^n t^n 2^n (1 - t)^n (2 \, dt) = 2^{2n+1} \int\limits_0^{1/2} t^n (1 - t)^n \, dt$. अब,$V_n = \int\limits_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx$ पर विचार करें। गुणधर्म $\int\limits_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int\limits_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करते हुए,यदि $f(2a - x) = f(x)$ हो,तो $f(x) = x^n (1 - x)^n$ के लिए जाँच करने पर,$f(1 - x) = (1 - x)^n (1 - (1 - x))^n = (1 - x)^n x^n = f(x)$ प्राप्त होता है। अतः,$V_n = 2 \int\limits_0^{1/2} x^n (1 - x)^n \, dx$. $U_n$ और $V_n$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $U_n = 2^{2n} \left( 2 \int\limits_0^{1/2} t^n (1 - t)^n \, dt \right) = 2^{2n} V_n$.

$U_n = \int\limits_0^1 x^n (2 - x)^n \, dx$ और $V_n = \int\limits_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx$,जहाँ $n \in N$ है,के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

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