U_n = intlimits_0^1 x^n (2 - x)^n , dx અને V_ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $U_n = \int\limits_0^1 x^n (2 - x)^n \, dx$ અને $V_n = \int\limits_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx$. $U_n$ ના સંકલન માટે,$x = 2t$ આદેશ લેતા,$dx

Vedclass · Accepted Answer

$U_n = 2^{2n} V_n$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $U_n = \int\limits_0^1 x^n (2 - x)^n \, dx$ અને $V_n = \int\limits_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx$. $U_n$ ના સંકલન માટે,$x = 2t$ આદેશ લેતા,$dx = 2 \, dt$ મળે. જ્યારે $x = 0, t = 0$ અને જ્યારે $x = 1, t = 1/2$ થાય. $U_n = \int\limits_0^{1/2} (2t)^n (2 - 2t)^n (2 \, dt) = \int\limits_0^{1/2} 2^n t^n 2^n (1 - t)^n (2 \, dt) = 2^{2n+1} \int\limits_0^{1/2} t^n (1 - t)^n \, dt$. હવે,$V_n = \int\limits_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx$ ધ્યાનમાં લો. ગુણધર્મ $\int\limits_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int\limits_0^a f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જો $f(2a - x) = f(x)$ હોય,તો $f(x) = x^n (1 - x)^n$ માટે તપાસતા,$f(1 - x) = (1 - x)^n (1 - (1 - x))^n = (1 - x)^n x^n = f(x)$ મળે છે. તેથી,$V_n = 2 \int\limits_0^{1/2} x^n (1 - x)^n \, dx$. $U_n$ અને $V_n$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $U_n = 2^{2n} \left( 2 \int\limits_0^{1/2} t^n (1 - t)^n \, dt \right) = 2^{2n} V_n$.

$U_n = \int\limits_0^1 x^n (2 - x)^n \, dx$ અને $V_n = \int\limits_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx$,જ્યાં $n \in N$ માટે,નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

Similar Questions

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} x}{\sin ^{1000} x+\cos ^{1000} x} \, dx $ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = f(a-x)$ હોય, તો $\int_0^a x f(x) dx$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $f, f', f''$ એ $[0, \ln 2]$ માં સતત છે અને $f(0) = 0, f'(0) = 3, f(\ln 2) = 6, f'(\ln 2) = 4$ અને $\int_{0}^{\ln 2} e^{-2x} f(x) dx = 3$ છે,તો $\int_{0}^{\ln 2} e^{-2x} f''(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $\int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = k \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module