m, n in mathbb{Z} के लिए int_0^{2 pi} cos m x | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^{2 \pi} \cos m x \cos n x \, dx + \int_{-\pi}^\pi \sin m x \cos n x \, dx$. दूसरे समाकलन $J = \int_{-\pi}^\pi \sin m x \cos n x \

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$\pi$,यदि $m = n 
eq 0$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_0^{2 \pi} \cos m x \cos n x \, dx + \int_{-\pi}^\pi \sin m x \cos n x \, dx$. दूसरे समाकलन $J = \int_{-\pi}^\pi \sin m x \cos n x \, dx$ पर विचार करें। चूंकि $\sin m(-x) \cos n(-x) = -\sin m x \cos n x$,इसलिए फलन विषम है। अतः,$J = 0$. अब,$I = \int_0^{2 \pi} \cos m x \cos n x \, dx$ पर विचार करें। सर्वसमिका $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) + \cos(A+B)]$ का उपयोग करने पर: $I = \frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} [\cos((m-n)x) + \cos((m+n)x)] \, dx$. यदि $m 
eq n$ और $m, n \in \mathbb{Z}$ है,तो $k 
eq 0$ के लिए $\int_0^{2 \pi} \cos(kx) \, dx = 0$ होता है। अतः,यदि $m 
eq n$ है तो $I = 0$. यदि $m = n 
eq 0$ है,तो $I = \int_0^{2 \pi} \cos^2(mx) \, dx = \int_0^{2 \pi} \frac{1 + \cos(2mx)}{2} \, dx = \frac{1}{2} [x + \frac{\sin(2mx)}{2m}]_0^{2 \pi} = \frac{1}{2} (2 \pi) = \pi$. अतः,यदि $m = n 
eq 0$ है तो मान $\pi$ है।

$m, n \in \mathbb{Z}$ के लिए $\int_0^{2 \pi} \cos m x \cos n x \, dx + \int_{-\pi}^\pi \sin m x \cos n x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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