यदि int frac{sqrt{cot x}}{sin x cos x} d x = | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x$. अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\frac{\sin x \

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$2 \sqrt{\cot x}$

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(D) माना $I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x$. अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} d x = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{	an x} \sec^2 x d x$. चूंकि $\frac{1}{	an x} = \cot x$, इसलिए $I = \int \sqrt{\cot x} \cdot \cot x \cdot \sec^2 x d x = \int (\cot x)^{3/2} \sec^2 x d x$. वैकल्पिक रूप से, $t = \cot x$ लेने पर, $dt = -\csc^2 x d x$, इसलिए $dx = -\sin^2 x dt$. $I = \int \frac{\sqrt{t}}{\sin x \cos x} (- \sin^2 x) dt = \int \frac{\sqrt{t}}{\cot^{-1} t} (-dt) = \int \frac{\sqrt{t}}{t} (-dt) = -\int t^{-1/2} dt$. $I = -[2 t^{1/2}] + c = -2 \sqrt{\cot x} + c$. $-f(x) + c$ के साथ तुलना करने पर, $-f(x) = -2 \sqrt{\cot x}$, अतः $f(x) = 2 \sqrt{\cot x}$.

यदि $\int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x = -f(x) + c$ है, तो $f(x)$ ज्ञात कीजिए।

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