int frac{x^{frac{1}{3}}}{(1 + x^{frac{2}{3}}) | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{x^{1/3}}{(1 + x^{2/3})^3} dx$. $u = 1 + x^{2/3}$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = \frac{2}{3} x^{-1/3} dx$ प्राप्त होता है,जिससे $d

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$\frac{3}{4} \left( \frac{x^{\frac{4}{3}}}{(1 + x^{\frac{2}{3}})^2} \right) + C$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{x^{1/3}}{(1 + x^{2/3})^3} dx$. $u = 1 + x^{2/3}$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = \frac{2}{3} x^{-1/3} dx$ प्राप्त होता है,जिससे $dx = \frac{3}{2} x^{1/3} du$ मिलता है। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{x^{1/3}}{u^3} \cdot \frac{3}{2} x^{1/3} du = \frac{3}{2} \int \frac{x^{2/3}}{u^3} du$. चूंकि $x^{2/3} = u - 1$,इसलिए: $I = \frac{3}{2} \int \frac{u - 1}{u^3} du = \frac{3}{2} \int (u^{-2} - u^{-3}) du$. समाकलन करने पर: $I = \frac{3}{2} \left( \frac{u^{-1}}{-1} - \frac{u^{-2}}{-2} \right) + C = \frac{3}{2} \left( -\frac{1}{u} + \frac{1}{2u^2} \right) + C = \frac{3}{4} \left( \frac{-2u + 1}{u^2} \right) + C$. $u = 1 + x^{2/3}$ वापस रखने पर,हमें विकल्प $C$ के अनुसार उत्तर प्राप्त होता है।

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}}}{(1 + x^{\frac{2}{3}})^3} dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है)।

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यदि $f(x) = \frac{1}{(\cos^2 x) \sqrt{1 + \tan x}}$ है,तो इसका प्रति-अवकलज $F(x) = . . . . . . .$,जहाँ $F(0) = 4$ दिया गया है।

$\int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x = -f(x) + c$ है,तो $f(x)$ ज्ञात कीजिए।

यदि $x \neq (2n+1) \frac{\pi}{2}$ है, तो $\int \frac{\cos^3 x}{(1+\sin x)^4} dx =$

$\int \frac{1}{x^3} [\log x^x]^2 \, dx = $

$\int \frac{\cot x}{\log(\sin x)} \, dx = $

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