समाकलन ज्ञात कीजिए: int sqrt{frac{cos x - cos | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \sqrt{\frac{\cos x(1 - \cos^2 x)}{1 - \cos^3 x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{\cos x \sin^2 x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$. चूंकि $\sin x$ वर

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$-\frac{2}{3} \sin^{-1}(\cos^{\frac{3}{2}} x)$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \sqrt{\frac{\cos x(1 - \cos^2 x)}{1 - \cos^3 x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{\cos x \sin^2 x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$. चूंकि $\sin x$ वर्गमूल के अंदर है,हम धनात्मक मूल $\sin x$ लेंगे। $I = \int \sin x \sqrt{\frac{\cos x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$. माना $u = \cos^{\frac{3}{2}} x$. तब $du = \frac{3}{2} \cos^{\frac{1}{2}} x (-\sin x) \, dx$. अतः,$-\frac{2}{3} du = \sqrt{\cos x} \sin x \, dx$. समाकलन में मान रखने पर: $I = \int \sqrt{\frac{\cos x}{1 - (\cos^{\frac{3}{2}} x)^2}} \sin x \, dx$. इसे सरल करने पर $I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \left(-\frac{2}{3} du\right) = -\frac{2}{3} \sin^{-1}(u) + c$. $u = \cos^{\frac{3}{2}} x$ वापस रखने पर,हमें $I = -\frac{2}{3} \sin^{-1}(\cos^{\frac{3}{2}} x) + c$ प्राप्त होता है।

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \sqrt{\frac{\cos x - \cos^3 x}{1 - \cos^3 x}} \, dx = \text{ . . . . . . } + c$
(जहाँ,$x \in R - \{\frac{k \pi}{2} \mid k \in Z\}$)

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