સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int \frac{(x+1) dx}{x(1+xe^x)}$

નીચેના વિધાનોનું અવલોકન કરો:
$A: \int \left(\frac{x^2-1}{x^2}\right) e^{\frac{x^2+1}{x}} d x = e^{\frac{x^2+1}{x}} + c$
$R: \int f^{\prime}(x) e^{f(x)} d x = f(x) + c$
તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

$\int \sqrt{x-1}(x \sqrt{x+1})^{-1} d x=$

$\int \frac{x - 1}{(x + 1) \sqrt{x(x^2 + x + 1)}} dx =$

ધારો કે $f(x) = \int \frac{dx}{(3+4x^2) \sqrt{4-3x^2}}$,$|x| < \frac{2}{\sqrt{3}}$. જો $f(0) = 0$ અને $f(1) = \frac{1}{\alpha \beta} \tan^{-1}\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)$,જ્યાં $\alpha, \beta > 0$,તો $\alpha^2 + \beta^2$ ની કિંમત $.........$ છે.

$\int \sin ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} d x=$