चित्र $(a)$ में $k$ बल नियतांक वाली एक स्प्रिंग दिखाई गई है,जिसका एक सिरा दृढ़ आधार से जुड़ा है और दूसरे मुक्त सिरे पर $m$ द्रव्यमान का पिंड जुड़ा है। मुक्त सिरे पर $F$ बल लगाने से स्प्रिंग खिंच जाती है। चित्र $(b)$ में वही स्प्रिंग दिखाई गई है जिसके दोनों सिरे मुक्त हैं और दोनों सिरों पर $m$ द्रव्यमान के पिंड जुड़े हैं। चित्र $(b)$ में स्प्रिंग के प्रत्येक सिरे को समान बल $F$ से खींचा जाता है।
$(a)$ दोनों स्थितियों में स्प्रिंग का अधिकतम विस्तार क्या है?
$(b)$ यदि चित्र $(a)$ में द्रव्यमान और चित्र $(b)$ में दोनों द्रव्यमानों को मुक्त कर दिया जाए,तो प्रत्येक स्थिति में दोलन का आवर्तकाल क्या होगा?

(N/A) एक-ब्लॉक प्रणाली के लिए (चित्र $(a)$):
जब मुक्त सिरे पर $F$ बल लगाया जाता है,तो विस्तार $l = F/k$ प्राप्त होता है।
गति का समीकरण $m(d^2x/dt^2) = -kx$ है। यह सरल आवर्त गति है जिसकी कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{k/m}$ है।
आवर्तकाल $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/k}$ है।
दो-ब्लॉक प्रणाली के लिए (चित्र $(b)$):
प्रत्येक सिरे पर $F$ बल कार्य करता है। स्प्रिंग में तनाव $F$ होने के कारण,विस्तार $l = F/k$ प्राप्त होता है। दोनों स्थितियों में विस्तार समान है।
दोलन के लिए,स्प्रिंग के द्रव्यमान केंद्र पर विचार करें। प्रत्येक द्रव्यमान $m$ द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष गति करता है। स्प्रिंग के आधे हिस्से के लिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k' = 2k$ होता है। एक द्रव्यमान के लिए गति का समीकरण $m(d^2x/dt^2) = -2kx$ है।
इससे $\omega = \sqrt{2k/m}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/(2k)}$ है।