$\int \sqrt{3-2 x-x^{2}} d x$ ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int \sqrt{3-2 x-x^{2}} d x$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलते हैं।
$3-2x-x^2 = 4 - (x^2 + 2x + 1) = 4 - (x+1)^2$.
अतः,समाकलन $\int \sqrt{4-(x+1)^2} d x$ हो जाता है।
माना $x+1 = y$,तब $dx = dy$.
समाकलन $\int \sqrt{2^2 - y^2} dy$ में परिवर्तित हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{y}{2} \sqrt{4-y^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{y}{2}) + C$.
$y = x+1$ का मान वापस रखने पर:
$= \frac{x+1}{2} \sqrt{4-(x+1)^2} + 2 \sin^{-1}(\frac{x+1}{2}) + C$.
$= \frac{x+1}{2} \sqrt{3-2x-x^2} + 2 \sin^{-1}(\frac{x+1}{2}) + C$.