$\int \frac{\sin 2x \cos 2x \, dx}{\sqrt{9-\cos^{4}(2x)}}$ ज्ञात कीजिए।

(NONE) माना $I = \int \frac{\sin 2x \cos 2x \, dx}{\sqrt{9-\cos^{4}(2x)}}$ है।
$t = \cos^{2}(2x)$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब,$dt = 2 \cos(2x) \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 \, dx = -4 \sin(2x) \cos(2x) \, dx$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\sin(2x) \cos(2x) \, dx = -\frac{1}{4} dt$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-\frac{1}{4} dt}{\sqrt{9-t^{2}}} = -\frac{1}{4} \int \frac{dt}{\sqrt{3^{2}-t^{2}}}$।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{1}{4} \sin^{-1}\left(\frac{t}{3}\right) + C$।
$t = \cos^{2}(2x)$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{4} \sin^{-1}\left(\frac{\cos^{2}(2x)}{3}\right) + C$।