$f$ के सभी असंततता के बिंदु ज्ञात कीजिए,जहाँ $f$ को $f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{यदि } x \ge 1 \\ x^2 + 1, & \text{यदि } x < 1 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। क्या $f$ एक सतत फलन है?

(NONE) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{यदि } x \ge 1 \\ x^2 + 1, & \text{यदि } x < 1 \end{cases}$ है।
फलन $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
स्थिति $I$: यदि $c < 1$ है,तो $f(c) = c^2 + 1$ है। सीमा $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^2 + 1) = c^2 + 1$ है। चूँकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,इसलिए $f$ सभी $x < 1$ के लिए सतत है।
स्थिति $II$: यदि $c = 1$ है,तो $f(1) = 1 + 1 = 2$ है।
बाएँ हाथ की सीमा $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2$ है।
दाएँ हाथ की सीमा $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2$ है।
चूँकि $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2$,इसलिए $f$ बिंदु $x = 1$ पर सतत है।
स्थिति $III$: यदि $c > 1$ है,तो $f(c) = c + 1$ है। सीमा $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x + 1) = c + 1$ है। चूँकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,इसलिए $f$ सभी $x > 1$ के लिए सतत है।
निष्कर्ष: फलन $f$ का कोई असंततता बिंदु नहीं है और यह एक सतत फलन है।