$f(x) = x^3 - 3x + 3$ द्वारा दिए गए फलन $f$ के सभी स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

(A) हमारे पास $f(x) = x^3 - 3x + 3$ है।
अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ प्राप्त होता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 1$ और $x = -1$ पर क्रांतिक बिंदु प्राप्त होते हैं।
इन बिंदुओं की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं:
$x = 1$ के लिए:
- $1$ के निकट और दाईं ओर,$f'(x) > 0$ है।
- $1$ के निकट और बाईं ओर,$f'(x) < 0$ है।
चूंकि चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए $x = 1$ एक स्थानीय निम्नतम बिंदु है और स्थानीय निम्नतम मान $f(1) = 1 - 3 + 3 = 1$ है।
$x = -1$ के लिए:
- $-1$ के निकट और बाईं ओर,$f'(x) > 0$ है।
- $-1$ के निकट और दाईं ओर,$f'(x) < 0$ है।
चूंकि चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए $x = -1$ एक स्थानीय उच्चतम बिंदु है और स्थानीय उच्चतम मान $f(-1) = -1 + 3 + 3 = 5$ है।