Class 11PhysicsSystem of Particles and Rotational MotionMix Example - System of Particles and Rotational Motion
Mediumएक समान छड़ (रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$) के तापमान में $\Delta T$ की सूक्ष्म वृद्धि करने पर,उसके लंब समद्विभाजक के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ में होने वाली वृद्धि ज्ञात कीजिए।
(N/A) माना छड़ का द्रव्यमान $M$ और लंबाई $l$ है। इसके लंब समद्विभाजक के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण:
$I = \frac{Ml^2}{12}$
जब तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है,तो लंबाई में परिवर्तन $\Delta l$:
$\Delta l = l \alpha \Delta T$
छड़ की नई लंबाई $l' = l + \Delta l$ है। नया जड़त्व आघूर्ण $I'$:
$I' = \frac{M(l + \Delta l)^2}{12}$
पद का विस्तार करने पर:
$I' = \frac{M}{12}(l^2 + 2l\Delta l + (\Delta l)^2)$
चूंकि $\Delta l$ बहुत छोटा है,इसलिए $(\Delta l)^2$ पद की उपेक्षा करने पर:
$I' \approx \frac{M}{12}(l^2 + 2l\Delta l) = \frac{Ml^2}{12} + \frac{2Ml\Delta l}{12} = I + \frac{Ml\Delta l}{6}$
जड़त्व आघूर्ण में वृद्धि $\Delta I = I' - I$:
$\Delta I = \frac{Ml\Delta l}{6}$
$\Delta l = l \alpha \Delta T$ रखने पर:
$\Delta I = \frac{Ml(l \alpha \Delta T)}{6} = \frac{Ml^2 \alpha \Delta T}{6} = 2I \alpha \Delta T$
$I = \frac{Ml^2}{12}$
जब तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है,तो लंबाई में परिवर्तन $\Delta l$:
$\Delta l = l \alpha \Delta T$
छड़ की नई लंबाई $l' = l + \Delta l$ है। नया जड़त्व आघूर्ण $I'$:
$I' = \frac{M(l + \Delta l)^2}{12}$
पद का विस्तार करने पर:
$I' = \frac{M}{12}(l^2 + 2l\Delta l + (\Delta l)^2)$
चूंकि $\Delta l$ बहुत छोटा है,इसलिए $(\Delta l)^2$ पद की उपेक्षा करने पर:
$I' \approx \frac{M}{12}(l^2 + 2l\Delta l) = \frac{Ml^2}{12} + \frac{2Ml\Delta l}{12} = I + \frac{Ml\Delta l}{6}$
जड़त्व आघूर्ण में वृद्धि $\Delta I = I' - I$:
$\Delta I = \frac{Ml\Delta l}{6}$
$\Delta l = l \alpha \Delta T$ रखने पर:
$\Delta I = \frac{Ml(l \alpha \Delta T)}{6} = \frac{Ml^2 \alpha \Delta T}{6} = 2I \alpha \Delta T$
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$R$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान का एक पहिया $R$ ऊँचाई की एक स्थिर सीढ़ी के निचले भाग पर चित्र में दिखाए अनुसार रखा गया है। पहिये की सतह पर लगातार एक स्थिर बल लगाया जाता है ताकि वह बिना फिसले सीढ़ी पर चढ़ सके। बिंदु $Q$ से गुजरने वाली और कागज के तल के लंबवत अक्ष के परितः टॉर्क $\tau$ पर विचार करें। निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
एक लोलक $m=0.1 \ kg$ द्रव्यमान के गोलक और $L=1.0 \ m$ लंबाई की द्रव्यमानहीन अवितान्य डोरी से बना है। यह घर्षणहीन क्षैतिज फर्श से $H=0.9 \ m$ की ऊंचाई पर एक स्थिर बिंदु से लटका हुआ है। प्रारंभ में,लोलक का गोलक फर्श पर निलंबन बिंदु के ठीक नीचे विरामावस्था में है। किसी क्षण पर गोलक को $P=0.2 \ kg \cdot m/s$ का क्षैतिज आवेग दिया जाता है। गोलक के कुछ दूरी तक फिसलने के बाद,डोरी तन जाती है और गोलक फर्श से ऊपर उठ जाता है। गोलक के ऊपर उठने से ठीक पहले निलंबन बिंदु के परितः लोलक के कोणीय संवेग का परिमाण $J \ kg \cdot m^2/s$ है। ऊपर उठने के ठीक बाद लोलक की गतिज ऊर्जा $K$ जूल है। $(1)$ $J$ का मान ज्ञात कीजिए। $(2)$ $K$ का मान ज्ञात कीजिए।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य:
$(1)$ कोणीय स्थिति $\theta$ एक अदिश राशि है,जबकि कोणीय विस्थापन $\Delta \theta$ एक सदिश राशि है।
$(2)$ घूर्णन गति में किसी कण के लिए रैखिक वेग $\vec{v}$ और कोणीय वेग $\vec{\omega}$ के बीच का संबंध $\vec{v} = \vec{r} \times \vec{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
$(3)$ किसी दृढ़ पिंड का जड़त्व आघूर्ण स्थिर होता है।
$(4)$ संवेग के आघूर्ण को कोणीय संवेग कहा जाता है।
$(1)$ कोणीय स्थिति $\theta$ एक अदिश राशि है,जबकि कोणीय विस्थापन $\Delta \theta$ एक सदिश राशि है।
$(2)$ घूर्णन गति में किसी कण के लिए रैखिक वेग $\vec{v}$ और कोणीय वेग $\vec{\omega}$ के बीच का संबंध $\vec{v} = \vec{r} \times \vec{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
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$(4)$ संवेग के आघूर्ण को कोणीय संवेग कहा जाता है।
Medium
View Solutionरिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
$(1)$ घूर्णी गति में,............ की भूमिका वैसी ही है जैसी रैखिक गति में द्रव्यमान की होती है।
$(2)$ घूर्णी गति करते हुए एक दृढ़ पिंड के लिए,यदि घूर्णन अक्ष से $10 \ cm$ की दूरी पर स्थित एक कण का कोणीय वेग $10 \ rad/s$ है,तो घूर्णन अक्ष से $5 \ cm$ की दूरी पर स्थित कण का रैखिक वेग ............ है।
$(3)$ $J \cdot s^{-2}$ मात्रक ............ भौतिक राशि का $SI$ मात्रक है।
$(4)$ घर्षण वाले नत समतल पर किसी पिंड के बिना फिसले लुढ़कने के लिए आवश्यक शर्त ............ है।
$(1)$ घूर्णी गति में,............ की भूमिका वैसी ही है जैसी रैखिक गति में द्रव्यमान की होती है।
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Medium
View Solutionइस प्रश्न में कथन $1$ और कथन $2$ दिए गए हैं। कथनों के बाद दिए गए चार विकल्पों में से,वह चुनें जो दोनों कथनों का सबसे अच्छा वर्णन करता है।
कथन $1$ : जब किसी अक्ष पर कोणीय गति $\omega$ के साथ घूम रहे पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ता है,तो उसका कोणीय संवेग $L$ अपरिवर्तित रहता है,लेकिन यदि कोई बाहरी टॉर्क लागू नहीं किया जाता है तो गतिज ऊर्जा $K$ बढ़ जाती है।
कथन $2$ : $L = I\omega$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{L^2}{2I}$.
कथन $1$ : जब किसी अक्ष पर कोणीय गति $\omega$ के साथ घूम रहे पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ता है,तो उसका कोणीय संवेग $L$ अपरिवर्तित रहता है,लेकिन यदि कोई बाहरी टॉर्क लागू नहीं किया जाता है तो गतिज ऊर्जा $K$ बढ़ जाती है।
कथन $2$ : $L = I\omega$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{L^2}{2I}$.
DifficultAIEEE 2012
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