વક્રો (x-1)^{2}+y^{2}=1 અને x^{2}+y^{2}=1 દ્વ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વક્રો $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ અને $x^{2}+y^{2}=1$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છાયાંકિત ભાગ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.સમીકરણો $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ અને $x

Vedclass · Accepted Answer

$\left(\frac{2 \pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(A) વક્રો $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ અને $x^{2}+y^{2}=1$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છાયાંકિત ભાગ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.સમીકરણો $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ અને $x^{2}+y^{2}=1$ ને ઉકેલતા,આપણને મળે છે:$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1$$x^2 + y^2 = 1$ હોવાથી,$1 - 2x + 1 = 1$,જે $2x = 1$ આપે છે,તેથી $x = \frac{1}{2}$.$x = \frac{1}{2}$ ને $x^2 + y^2 = 1$ માં મૂકતા,$y^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,તેથી $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.છેદબિંદુઓ $A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}ight)$ અને $B\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}ight)$ છે.આવશ્યક ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.ક્ષેત્રફળ $= 2 	imes \int_{0}^{1/2} \sqrt{1 - (x-1)^2} dx + 2 	imes \int_{1/2}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$.સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}ight)$ નો ઉપયોગ કરતા:ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) ight]_0^{1/2} + 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) ight]_{1/2}^1$$= 2 \left[ (-\frac{1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1/2)) - (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1)) ight] + 2 \left[ (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1/2)) ight]$$= 2 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} ight] + 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} ight]$$= 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} ight] + 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} ight] = 4 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} ight) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ચોરસ એકમ.

વક્રો $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ અને $x^{2}+y^{2}=1$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Similar Questions

વક્ર $y^2 = 8x$ અને તેના નાભિલંબ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

વક્રો $\{(x, y): y \geq x^{2} \text{ અને } y=|x|\}$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.

$x=-1$, $x=2$, $y=x^2+1$ અને $y=2x-2$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

વક્ર $y = x^2 - x - 6$,$x$-અક્ષ $(y = 0)$ અને રેખાઓ $x = -1$ તથા $x = 1$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ . . . . . . ચોરસ એકમ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module