$A(1, 1, 1)$,$B(1, 2, 3)$ और $C(2, 3, 1)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\overrightarrow{a}$ एक शून्येतर सदिश है जो मूल बिंदु से गुजरने वाले और क्रमशः $(\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+\hat{k})$ और $(\hat{i}-\hat{j}, \hat{j}-\hat{k})$ सदिशों को समाहित करने वाले दो समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर है। यदि $\theta$ सदिश $\vec{a}$ और सदिश $\vec{b}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ के बीच का कोण है और $\vec{a} \cdot \vec{b}=6$ है,तो क्रमित युग्म $(\theta, |\vec{a} \times \vec{b}|)$ का मान ज्ञात कीजिए।

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल,जिसके विकर्ण $\vec{d}_1 = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{d}_2 = \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ हैं,किसके बराबर है?

यदि $a=2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$,$b=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$,$c=-\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}$ और $d=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है,तो $|(a \times b) \times(c \times d)|=$

मान लीजिए कि सदिश $a, b, c$ और $d$ इस प्रकार हैं कि $(a \times b) \times (c \times d) = 0$ है। मान लीजिए $P_1$ और $P_2$ क्रमशः सदिशों के युग्मों $(a, b)$ और $(c, d)$ द्वारा निर्धारित समतल हैं। तो $P_1$ और $P_2$ के बीच का कोण क्या है?

यदि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}, \bar{d}$ इकाई सदिश हैं ताकि $\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{2}$,$\bar{c} \cdot \bar{d} = \frac{1}{2}$ और $\bar{a} \times \bar{b}$ तथा $\bar{c} \times \bar{d}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है,तो $|[\bar{a} \bar{b} \bar{d}] \bar{c} - [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] \bar{d}| = $ का मान ज्ञात कीजिए।