f(x)=(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})(1+x^{8}) द्वारा | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x)=(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})(1+x^{8})$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है:$\log f(x) = \log(1+x) + \lo

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$120$

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(A) दिया गया फलन $f(x)=(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})(1+x^{8})$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है:$\log f(x) = \log(1+x) + \log(1+x^{2}) + \log(1+x^{4}) + \log(1+x^{8})$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{1}{f(x)} \cdot f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \log(1+x) + \frac{d}{dx} \log(1+x^{2}) + \frac{d}{dx} \log(1+x^{4}) + \frac{d}{dx} \log(1+x^{8})$.श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \frac{4x^{3}}{1+x^{4}} + \frac{8x^{7}}{1+x^{8}}$.अतः,$f^{\prime}(x) = f(x) \left[ \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \frac{4x^{3}}{1+x^{4}} + \frac{8x^{7}}{1+x^{8}} ight]$.अब,$f^{\prime}(1)$ ज्ञात करने के लिए,$x=1$ रखने पर:$f(1) = (1+1)(1+1^{2})(1+1^{4})(1+1^{8}) = 2 	imes 2 	imes 2 	imes 2 = 16$.$f^{\prime}(1) = 16 \left[ \frac{1}{1+1} + \frac{2(1)}{1+1^{2}} + \frac{4(1)^{3}}{1+1^{4}} + \frac{8(1)^{7}}{1+1^{8}} ight]$.$f^{\prime}(1) = 16 \left[ \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{4}{2} + \frac{8}{2} ight]$.$f^{\prime}(1) = 16 \left[ \frac{1+2+4+8}{2} ight] = 16 	imes \frac{15}{2} = 8 	imes 15 = 120$.

$f(x)=(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})(1+x^{8})$ द्वारा दिए गए फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इसके आधार पर $f^{\prime}(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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