वक्र y=frac{1}{x-1}, x neq 1 के उन सभी स्पर्श | vedclass

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Question

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y=\frac{1}{x-1}, x 
eq 1$ है। किसी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा का ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{(x-1)^2}$

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$y+x+1=0$ और $y+x-3=0$

Vedclass · Answer

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y=\frac{1}{x-1}, x 
eq 1$ है। किसी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा का ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{(x-1)^2}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि स्पर्श रेखा का ढाल $-1$ है,इसलिए हम अवकलज को $-1$ के बराबर रखते हैं: $\frac{-1}{(x-1)^2} = -1$ $(x-1)^2 = 1$ $x-1 = \pm 1$ $x = 2$ या $x = 0$ प्राप्त होता है। जब $x=0$,तो $y = \frac{1}{0-1} = -1$। बिंदु $(0, -1)$ है। जब $x=2$,तो $y = \frac{1}{2-1} = 1$। बिंदु $(2, 1)$ है। $m$ ढाल और $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ होता है। बिंदु $(0, -1)$ और $m = -1$ के लिए: $y - (-1) = -1(x - 0) \Rightarrow y + 1 = -x \Rightarrow y + x + 1 = 0$। बिंदु $(2, 1)$ और $m = -1$ के लिए: $y - 1 = -1(x - 2) \Rightarrow y - 1 = -x + 2 \Rightarrow y + x - 3 = 0$। अतः,अभीष्ट रेखाओं के समीकरण $y+x+1=0$ और $y+x-3=0$ हैं।

वक्र $y=\frac{1}{x-1}, x \neq 1$ के उन सभी स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका ढाल $-1$ है।

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