તે સમતલનું સમીકરણ શોધો જે સમતલો $\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})-4=0$ અને $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+5=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થાય છે અને સમતલ $\vec{r} \cdot(5 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})+8=0$ ને લંબ છે.

ધારો કે $P_1: 2x + y - z = 3$ અને $P_2: x + 2y + z = 2$ બે સમતલો છે. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $P_1$ અને $P_2$ ની છેદરેખાના દિકગુણોત્તર $1, -1, 1$ છે.
$(B)$ રેખા $\frac{3x - 4}{9} = \frac{1 - 3y}{9} = \frac{z}{3}$ એ $P_1$ અને $P_2$ ની છેદરેખાને લંબ છે.
$(C)$ $P_1$ અને $P_2$ વચ્ચેનો લઘુકોણ $60^{\circ}$ છે.
$(D)$ જો $P_3$ એ બિંદુ $(4, 2, -2)$ માંથી પસાર થતું અને $P_1$ અને $P_2$ ની છેદરેખાને લંબ સમતલ હોય,તો બિંદુ $(2, 1, 1)$ નું સમતલ $P_3$ થી અંતર $\frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.

જો બિંદુ $P(43, \alpha, \beta), \beta < 0$ નું રેખા $\vec{r} = 4\hat{i} - \hat{k} + \mu(2\hat{i} + 3\hat{k}), \mu \in R$ થી દિશા ગુણોત્તર $3, -1, 0$ વાળી રેખાની દિશામાં અંતર $13\sqrt{10}$ હોય, તો $\alpha^{2} + \beta^{2}$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

સમતલો $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 1$ અને $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j}) = -2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા અને બિંદુ $(1, 0, 2)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ શોધો:

બિંદુ $(1, -2, 3)$ નું સમતલ $x - y + z = 5$ થી રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-6}$ ને સમાંતર માપેલું અંતર કેટલું છે?

જો બિંદુઓ $P(2, 4, 1)$ અને $Q(3, 8, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું સમતલ $3x - ky - 6z = 0$ દ્વારા $4:5$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરવામાં આવે, તો $k=$