अवकल समीकरण e^{x} tan y , dx + (1 - e^{x}) se | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $e^{x} 	an y \, dx + (1 - e^{x}) \sec^{2} y \, dy = 0$। पदों को व्यवस्थित करने पर: $(1 - e^{x}) \sec^{2} y \, dy = -e^{x

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$	an y = C(1 - e^{x})$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $e^{x} 	an y \, dx + (1 - e^{x}) \sec^{2} y \, dy = 0$। पदों को व्यवस्थित करने पर: $(1 - e^{x}) \sec^{2} y \, dy = -e^{x} 	an y \, dx$। चरों को अलग करने पर: $\frac{\sec^{2} y}{	an y} \, dy = \frac{-e^{x}}{1 - e^{x}} \, dx$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{\sec^{2} y}{	an y} \, dy = \int \frac{-e^{x}}{1 - e^{x}} \, dx$। बाएँ पक्ष के लिए,मान लीजिए $	an y = u$,तो $\sec^{2} y \, dy = du$। अतः,$\int \frac{du}{u} = \ln|u| = \ln|	an y|$। दाएँ पक्ष के लिए,मान लीजिए $1 - e^{x} = t$,तो $-e^{x} \, dx = dt$। अतः,$\int \frac{dt}{t} = \ln|t| = \ln|1 - e^{x}|$। इन दोनों को जोड़ने पर: $\ln|	an y| = \ln|1 - e^{x}| + \ln|C|$। लघुगणक के नियमों का उपयोग करने पर: $\ln|	an y| = \ln|C(1 - e^{x})|$। दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,हमें व्यापक हल प्राप्त होता है: $	an y = C(1 - e^{x})$।

अवकल समीकरण $e^{x} \tan y \, dx + (1 - e^{x}) \sec^{2} y \, dy = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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