$INDEPENDENCE$ शब्द के अक्षरों के विन्यासों की संख्या ज्ञात कीजिए। इन विन्यासों में से कितने विन्यासों में सभी स्वर हमेशा एक साथ आते हैं?

जब $n=9, r=5$ हो,तो $\frac{n!}{(n-r)!}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$n = 1, 2, 3, . . . , 50$ के लिए,मान लीजिए $A = \{ a_n \mid a_n = \begin{cases} (-1)^{\frac{n}{2}} (\frac{n}{2}), & \text{यदि } n \text{ सम है} \\ (-1)^{\frac{n-1}{2}} (\frac{n-1}{2}), & \text{यदि } n \text{ विषम है} \end{cases} \}$ और $B$,$A$ के सभी भिन्न अवयवों का समुच्चय है। समुच्चय $B$ के सभी अवयवों के उन क्रमचयों की संख्या जिनमें सम पूर्णांक बढ़ते क्रम में हों,है:

$3$ छल्लों (rings) से बने एक ताले को $10$ अलग-अलग अक्षरों के साथ बंद किया गया है। ताले को खोलने के लिए कितने असफल प्रयास किए जा सकते हैं?

$TRICK$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके,भिन्न अक्षरों वाला पाँच अक्षरों का एक शब्द इस प्रकार बनाया जाता है कि $C$ मध्य में हो। यह कितने तरीकों से संभव है?

$ALLAHABAD$ शब्द के अक्षरों के क्रमचयों (permutations) की संख्या ज्ञात कीजिए।