આપેલ શરતનું પાલન કરતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો: (x+y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$પદોને ગોઠવતા: $(x+y) dy = -(x-y) dx$$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-(x-y)}{x+y} = \frac{y-x}{x+y}$

Vedclass · Accepted Answer

$\log (x^{2}+y^{2})+2 	an ^{-1}(\frac{y}{x})=\frac{\pi}{2}+\log 2$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$પદોને ગોઠવતા: $(x+y) dy = -(x-y) dx$$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-(x-y)}{x+y} = \frac{y-x}{x+y}$  ..........$(1)$આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.$(1)$ માં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx-x}{x+vx} = \frac{v-1}{1+v}$$x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{1+v} - v = \frac{v-1-v-v^{2}}{1+v} = \frac{-(1+v^{2})}{1+v}$ચલને અલગ કરતા: $\frac{1+v}{1+v^{2}} dv = -\frac{dx}{x}$બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{1+v^{2}} dv + \int \frac{v}{1+v^{2}} dv = -\int \frac{dx}{x}$$	an^{-1} v + \frac{1}{2} \log(1+v^{2}) = -\log x + C$$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}) = -\log x + C$$	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}) = -\log x + C$$	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^{2}+y^{2}) - \log x = -\log x + C$$	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^{2}+y^{2}) = C$$2$ વડે ગુણતા: $2 	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \log(x^{2}+y^{2}) = 2C = K$જ્યારે $x=1$ ત્યારે $y=1$: $2 	an^{-1}(1) + \log(1^{2}+1^{2}) = K$$2(\frac{\pi}{4}) + \log 2 = K \Rightarrow K = \frac{\pi}{2} + \log 2$આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ: $\log(x^{2}+y^{2}) + 2 	an^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{\pi}{2} + \log 2$ છે.

આપેલ શરતનું પાલન કરતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$; જ્યારે $x=1$ ત્યારે $y=1$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $y e^{\frac{x}{y}} dx = \left( x e^{\frac{x}{y}} + y^2 \right) dy$ ઉકેલો,જ્યાં $y \neq 0$.

વિકલ સમીકરણ $x \cos \frac{y}{x}(y d x+x d y)=y \sin \frac{y}{x}(x d y-y d x)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

આપેલ શરતનું પાલન કરતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો: $2xy + y^2 - 2x^2 \frac{dy}{dx} = 0$; જ્યારે $x = 1$ ત્યારે $y = 2$.

વિકલ સમીકરણ $(y^2-x^2) dx = xy dy$ $(x \neq 0)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - y^2 - x^2}$ નો વ્યાપક ઉકેલ $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = f(y) + C$ હોય,તો $f(e^3) = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module