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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $2xy + y^2 - 2x^2 \frac{dy}{dx} = 0$.इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$2x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy + y^2$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{

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$y = \frac{2x}{1 - \log |x|}, (x 
eq 0, x 
eq e)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $2xy + y^2 - 2x^2 \frac{dy}{dx} = 0$.इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$2x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy + y^2$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^2}{2x^2} \dots (1)$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.समीकरण $(1)$ में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{2x(vx) + (vx)^2}{2x^2} = \frac{2vx^2 + v^2x^2}{2x^2} = v + \frac{v^2}{2}$.अतः,$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{2}$,जिसका अर्थ है $\frac{2}{v^2} dv = \frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int 2v^{-2} dv = \int \frac{1}{x} dx \Rightarrow -\frac{2}{v} = \log |x| + C$.$v = \frac{y}{x}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $-\frac{2x}{y} = \log |x| + C \dots (2)$.दिया गया है कि $x = 1$ पर $y = 2$: $-\frac{2(1)}{2} = \log |1| + C \Rightarrow -1 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.समीकरण $(2)$ में $C = -1$ रखने पर: $-\frac{2x}{y} = \log |x| - 1 \Rightarrow \frac{2x}{y} = 1 - \log |x|$.अतः,$y = \frac{2x}{1 - \log |x|}$ जहाँ $x 
eq 0, x 
eq e$.

दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $2xy + y^2 - 2x^2 \frac{dy}{dx} = 0$; जब $x = 1$ तब $y = 2$.

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