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Question

(A) दिया गया $n^{th}$ पद $a_n = n^2 + 2^n$ है। $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (k^2 + 2^k)$ है। इसे दो अलग-अलग योगों में विभाजि

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$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2(2^n - 1)$

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(A) दिया गया $n^{th}$ पद $a_n = n^2 + 2^n$ है। $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (k^2 + 2^k)$ है। इसे दो अलग-अलग योगों में विभाजित किया जा सकता है: $S_n = \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n 2^k$. प्रथम $n$ वर्गों का योग सूत्र $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ द्वारा दिया जाता है। दूसरा भाग एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है: $\sum_{k=1}^n 2^k = 2^1 + 2^2 + \dots + 2^n$. प्रथम पद $a=2$ और सार्व अनुपात $r=2$ के साथ $G.P.$ के योग सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $\frac{a(r^n - 1)}{r-1} = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$ प्राप्त होता है। इन दोनों को जोड़ने पर,$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2(2^n - 1)$।

उस श्रेणी के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका $n^{th}$ पद $a_n = n^2 + 2^n$ द्वारा दिया गया है।

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