જો શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & 2y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{bmatrix}$ એ સમીકરણ $A^{\prime} A = I$ નું સમાધાન કરતો હોય,તો $x, y, z$ ની કિંમતો શોધો.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 0 & 2y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{bmatrix}$.
પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & x & x \\ 2y & y & -y \\ z & -z & z \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $A^{\prime} A = I$,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^{\prime} A$ ની ગણતરી કરતા:
$\begin{bmatrix} 0 & x & x \\ 2y & y & -y \\ z & -z & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$\begin{bmatrix} 0+x^2+x^2 & 0+xy-xy & 0-xz+xz \\ 0+xy-xy & 4y^2+y^2+y^2 & 2zy-zy-zy \\ 0-xz+xz & 2zy-zy-zy & z^2+z^2+z^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
શ્રેણિકનું સાદું રૂપ આપતા:
$\begin{bmatrix} 2x^2 & 0 & 0 \\ 0 & 6y^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3z^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા:
$2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
$6y^2 = 1 \implies y^2 = \frac{1}{6} \implies y = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$
$3z^2 = 1 \implies z^2 = \frac{1}{3} \implies z = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
આમ,$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, y = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, z = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.