a0 के लिए, माना वक्र C_1: y^2=a x तथा C_2 | vedclass

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Question

(A) वक्र $C_{1}: y^{2}=ax$ और $C_{2}: x^{2}=ay$ हैं। उन्हें हल करने पर,हमें $x^{4}/a^{2} = ax \Rightarrow x(x^{3}-a^{3})=0$ प्राप्त होता है। अतः,प्रति

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$a^{6}-12 a^{3}+4=0$

Vedclass · Answer

(A) वक्र $C_{1}: y^{2}=ax$ और $C_{2}: x^{2}=ay$ हैं। उन्हें हल करने पर,हमें $x^{4}/a^{2} = ax \Rightarrow x(x^{3}-a^{3})=0$ प्राप्त होता है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0,0)$ और $P(a,a)$ हैं।
जीवा $OP$ का समीकरण $y=x$ है। रेखा $x=b$,$OP$ को $Q(b,b)$ पर और $x$-अक्ष को $R(b,0)$ पर प्रतिच्छेद करती है।
$\Delta OQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊंचाई} = \frac{1}{2} 	imes b 	imes b = \frac{b^{2}}{2}.$ क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $b^{2}=1 \Rightarrow b=1$ प्राप्त होता है।
वक्रों द्वारा परिबद्ध कुल क्षेत्रफल $\int_{0}^{a} (\sqrt{ax} - x^{2}/a) dx = [\frac{2}{3}\sqrt{a}x^{3/2} - x^{3}/(3a)]_{0}^{a} = \frac{2}{3}a^{2} - \frac{1}{3}a^{2} = \frac{a^{2}}{3}$ है।
रेखा $x=b$ इस क्षेत्रफल को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\int_{0}^{b} (\sqrt{ax} - x^{2}/a) dx = \frac{1}{2} 	imes \frac{a^{2}}{3} = \frac{a^{2}}{6}$ होगा।
$b=1$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2}{3}\sqrt{a} - \frac{1}{3a} = \frac{a^{2}}{6}.$
$6a$ से गुणा करने पर: $4a^{3/2} - 2 = a^{3} \Rightarrow a^{3} + 2 = 4a^{3/2}.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(a^{3}+2)^{2} = 16a^{3} \Rightarrow a^{6} + 4a^{3} + 4 = 16a^{3} \Rightarrow a^{6} - 12a^{3} + 4 = 0.$

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