{(x, y) mid x^2+y^2 leq 1} और {y^2 leq 1-x} द | vedclass

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Question

(C) यह क्षेत्र वृत्त $x^2+y^2=1$ और परवलय $y^2=1-x$ द्वारा घिरा हुआ है। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2=1-x$ को $x^2+y^2=1$ में प्रतिस्थापित

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$\frac{\pi}{2}+\frac{4}{3}$

Vedclass · Answer

(C) यह क्षेत्र वृत्त $x^2+y^2=1$ और परवलय $y^2=1-x$ द्वारा घिरा हुआ है। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2=1-x$ को $x^2+y^2=1$ में प्रतिस्थापित करें: $x^2 + (1-x) = 1 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$. अतः,$x=0$ या $x=1$. $x=0$ के लिए,$y^2=1 \implies y=\pm 1$. $x=1$ के लिए,$y^2=0 \implies y=0$. क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है। क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_{-1}^0 \sqrt{1-x^2} dx + \int_0^1 \sqrt{1-x} dx \right]$. समाकलन करने पर: $2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x \right]_{-1}^0 = 2 \left[ (0 + 0) - (0 - \frac{\pi}{4}) \right] = \frac{\pi}{2}$. $2 \int_0^1 (1-x)^{1/2} dx = 2 \left[ \frac{-2}{3} (1-x)^{3/2} \right]_0^1 = 2 \left[ 0 - (-\frac{2}{3}) \right] = \frac{4}{3}$. कुल क्षेत्रफल $= \frac{\pi}{2} + \frac{4}{3}$.

$\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\}$ और $\{y^2 \leq 1-x\}$ द्वारा वर्णित क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

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