a in R - {0} के लिए,यदि a cos x + a sin x + a | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $a \cos x + a \sin x + a = 2K + 1$ है। हम व्यंजक को $a(\cos x + \sin x) + a = 2K + 1$ के रूप में लिख सकते हैं। सर्वसमिका $\cos x +

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$\left[\frac{a - 1 - a\sqrt{2}}{2}, \frac{a - 1 + a\sqrt{2}}{2}\right]$

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(A) दिया गया समीकरण $a \cos x + a \sin x + a = 2K + 1$ है। हम व्यंजक को $a(\cos x + \sin x) + a = 2K + 1$ के रूप में लिख सकते हैं। सर्वसमिका $\cos x + \sin x = \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4})$ का उपयोग करने पर,हमें $a[\sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) + 1] = 2K + 1$ प्राप्त होता है। चूंकि $-1 \leq \cos(x - \frac{\pi}{4}) \leq 1$,इसलिए $\sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) + 1$ का परिसर $[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}]$ है। $a$ से गुणा करने पर ($a > 0$ मानते हुए),हमें $a(1 - \sqrt{2}) \leq 2K + 1 \leq a(1 + \sqrt{2})$ प्राप्त होता है। $K$ के लिए हल करने पर: $a - a\sqrt{2} - 1 \leq 2K \leq a + a\sqrt{2} - 1$। अतः,$K \in \left[\frac{a - a\sqrt{2} - 1}{2}, \frac{a + a\sqrt{2} - 1}{2}\right]$। यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।

$a \in R - \{0\}$ के लिए,यदि $a \cos x + a \sin x + a = 2K + 1$ का कोई हल है,तो $K$ किस अंतराल में स्थित है?

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