z in mathbb{C} के लिए,यदि (1+z)^n = 1 + { }^n | vedclass

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Question

(C) द्विपद विस्तार $(1+z)^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r z^r$ दिया गया है। माना $z = \cos x + i \sin x = e^{ix}$। तब $(1 + e^{ix})^n = \sum_{r=0}^{n} {

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$50$

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(C) द्विपद विस्तार $(1+z)^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r z^r$ दिया गया है। माना $z = \cos x + i \sin x = e^{ix}$। तब $(1 + e^{ix})^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r e^{irx}$। $1 + e^{ix} = 2 \cos \frac{x}{2} e^{i \frac{x}{2}}$ का उपयोग करते हुए,$(1 + e^{ix})^n = (2 \cos \frac{x}{2})^n e^{i \frac{nx}{2}} = (2 \cos \frac{x}{2})^n (\cos \frac{nx}{2} + i \sin \frac{nx}{2})$। काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$\sum_{r=0}^{n} { }^n C_r \sin(rx) = (2 \cos \frac{x}{2})^n \sin(\frac{nx}{2})$। $n = 100$ के लिए,$\sum_{r=0}^{100} { }^{100} C_r \sin(rx) = (2 \cos \frac{x}{2})^{100} \sin(50x)$। दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,$k = 50$ प्राप्त होता है।

$z \in \mathbb{C}$ के लिए,यदि $(1+z)^n = 1 + { }^n C_1 z + { }^n C_2 z^2 + \ldots + { }^n C_n z^n$ और $\sum_{r=0}^{100} { }^{100} C_r \sin(rx) = \left(2 \cos \frac{x}{2}\right)^{100} \sin(kx)$ है,तो $k =$

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$\frac{C_1}{C_0} + 2 \cdot \frac{C_2}{C_1} + 3 \cdot \frac{C_3}{C_2} + \dots + n \cdot \frac{C_n}{C_{n-1}}$ का मान किसके बराबर है?

यदि $(\frac{1}{^{15}C_{0}}+\frac{1}{^{15}C_{1}})(\frac{1}{^{15}C_{1}}+\frac{1}{^{15}C_{2}})...(\frac{1}{^{15}C_{12}}+\frac{1}{^{15}C_{13}}) = \frac{a^{13}}{^{14}C_{0} \cdot ^{14}C_{1} \cdot ... \cdot ^{14}C_{12}}$ है, तो $30a$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( {\frac{{{}^{20}{C_{i - 1}}}}{{{}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i - 1}}}}} \right)} ^3 = \frac{k}{21}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\binom{50}{4} + \sum_{i=1}^{6} \binom{56-i}{3} = \dots$

निम्नलिखित श्रेणी $\frac{C_0}{2} - \frac{C_1}{3} + \frac{C_2}{4} - \frac{C_3}{5} + \dots$ के $(n + 1)$ पदों का योग क्या है?

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