z in mathbb{C} માટે,જો (1+z)^n = 1 + { }^n C_ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r z^r$ આપેલ છે. ધારો કે $z = \cos x + i \sin x = e^{ix}$. તેથી $(1 + e^{ix})^n = \sum_{r=0}^{n}

Vedclass · Accepted Answer

$50$

Vedclass · Answer

(C) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r z^r$ આપેલ છે. ધારો કે $z = \cos x + i \sin x = e^{ix}$. તેથી $(1 + e^{ix})^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r e^{irx}$. $1 + e^{ix} = 2 \cos \frac{x}{2} e^{i \frac{x}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1 + e^{ix})^n = (2 \cos \frac{x}{2})^n e^{i \frac{nx}{2}} = (2 \cos \frac{x}{2})^n (\cos \frac{nx}{2} + i \sin \frac{nx}{2})$. કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,$\sum_{r=0}^{n} { }^n C_r \sin(rx) = (2 \cos \frac{x}{2})^n \sin(\frac{nx}{2})$. $n = 100$ માટે,$\sum_{r=0}^{100} { }^{100} C_r \sin(rx) = (2 \cos \frac{x}{2})^{100} \sin(50x)$. આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$k = 50$ મળે છે.

$z \in \mathbb{C}$ માટે,જો $(1+z)^n = 1 + { }^n C_1 z + { }^n C_2 z^2 + \ldots + { }^n C_n z^n$ અને $\sum_{r=0}^{100} { }^{100} C_r \sin(rx) = \left(2 \cos \frac{x}{2}\right)^{100} \sin(kx)$ હોય,તો $k =$

Similar Questions

જો $\binom{10}{2} + \binom{10}{3} + \binom{11}{4} + \binom{12}{5} + \binom{13}{6} = \binom{14}{r}$ હોય,તો $r = \dots$

જો $C_{0} + 5 \cdot C_{1} + 9 \cdot C_{2} + \ldots + (101) \cdot C_{25} = 2^{25} \cdot k$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

$(1+x)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં છેલ્લા આઠ ક્રમિક સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો ${}^n C_0, {}^n C_1, {}^n C_2, \ldots, {}^n C_n$ એ $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં દ્વિપદી સહગુણકો હોય,તો $n=10$ માટે,$\sum_{r=1}^{10} {}^n C_r \cdot r(r-4)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module